1、 1 / 9直线和双曲线的位置关系一、要点精讲1直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.2弦长公式：设直线 交双曲线于 ， ，bkxy1,yxP2,yx则 ，222212 41kP或 0212122212 kyyy二、基础自测1经过点 且与双曲线 仅有一个公共点的直线有（ ）2,P142yx(A) 4 条 (B) 3 条 (C) 2 条 (D) 1 条2直线 y= kx 与双曲线 不可能（ ）1642yx（A）相交 （B ）只有一个交点 （C）相离 （D）有两个公共点3过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是1962xy(A) (B) (C) (D
2、) 49104若一直线 平行于双曲线的一条渐近线，则 与双曲线的公共点个数为 l l解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切5经过双曲线 的右焦点且斜率为 2 的直线被双曲线截得的线段的长是 82yx6直线 在双曲线 上截得的弦长为 4，且 的斜率为 2，求直线 的方程l123yxll2 / 9三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1. 如果直线 与双曲线 没有公共点，求 的取值范围有两个公共点1kxy42yxk呢？解，所以= 2()40ba， 所以 2ba，221()5cabea，故选 D. 2(2010安徽)若直线 ykx 2 与双曲线 x2y
3、 26 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是 ( )A. B. C. D.15,3150,315,0315,3解：由Error! 得(1k 2)x24kx100， ，解得22126410kkx 0 进行验证即可6. 双曲线方程为 .32yx问：以定点 B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说4 / 9明理由7、已知中心在原点，顶点 在 轴上，离心率为 的双曲线经过点12,Ax213(6,)P（）求双曲线的方程；（）动直线 经过 的重心 ，与双曲线交于不同的两点 ，问是否存在直线l12PG,MN使 平分线段 。试证明你的结论。 lGMN题型三： 求双曲线方
4、程8. 已知焦点在 x 轴上的双曲线上一点 ，到双曲线两个焦点的距离分别为 4 和 8，直线P被双曲线截得的弦长为 ，求此双曲线的标准方程2xy209、设双曲线 与直线 相交于不同的点 A、B.01:2ayxC1:yxl求双曲线 的离心率 的取值范围；e5 / 9设直线 与 轴的交点为 ，且 ，求 的值。lyPBA125a解：(1)将 yx1 代入双曲线 y 21 中得(1 a 2)x22a 2x2a 20 由题设x2a2条件知，Error!，解得 0 且 e .262 2(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)， P(0,1) ， (x 1，y 11)PA 512PB (x2，y
5、21)x 1 x2，512 512x 1、x 2 是方程的两根，且 1a 20， x2 ， x ，1712 2a21 a2 5122 2a21 a2消去 x2 得， ， a0，a .2a21 a2 28960 171310. 已知双曲线的焦点为 ， ，过 且斜率为 的直线交双曲线于 、,1cF0,22F53P两点，若 (其中 为原点） ， ，求双曲线方程。QOP4PQ11. 双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点 垂Ox12l， F直于 的直线分别交 于 两点已知 成等差数列，且 与1l12l， AB， OAB、 、 B同向FA（）求双曲线的离心率；（）设 被双曲线
6、所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程B解：（）设 ， ， 由勾股定理可得：OmdABOmd22()()d6 / 9得： ， ，14dmtanbAOF4tanta23ABABOF由倍角公式 ，解得 ,则离心率 2431a15e（）过 直线方程为 ,与双曲线方程 联立，将 ，F()yxcb21xyab2ab代入，5cb化简有 218104x221211()4aaxxbb将数值代入，有 , 解得 故所求的双曲线方程为2235843b。21369xy12、已知双曲线 1(b a0)，O 为坐标原点，离心率 e2，点 M( ， )在双曲线x2a2 y2b2 5 3上(1) 求双曲线的方程；(2) 若直
7、线 l 与双曲线交于 P，Q 两点，且 .求 0OQP1|OP|2的值1|OQ|2解： (1)e2， c2a，b 2c 2a 23 a2，双曲线方程为 1 ，即 3x2y 23 a2.x2a2 y23a2点 M( ， )在双曲线上，1533a 2.a24.5 3所求双曲线的方程为 1.x24 y212(2)设直线 OP 的方程 为 ykx (k0)，联立 1，得x24 y212|OP|2x 2y 2 . 则 OQ 的方程为 y x，213xky12k2 13 k2 1k7 / 9同理有|OQ| 2 ， 213k12k2 13k2 1 1|OP|2 1|OQ|2 3 k2 3k2 112k2 1
8、 .2 2k212k2 1 1613(2012 上海)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1：2x 2y 21.(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点若 l 与圆 x2y 21 相切，求证：OP OQ；(3)设椭圆 C2：4x 2y 21.若 M、N 分别是 C1、C 2 上的动点，且 OMON，求证：O 到直线 MN 的距离是定值解：(1)双曲线 C1： ，左顶点 A ，渐近线方程为：y x.2,02过点 A 与渐近线 y x 平行的直线方程为 ，即 y x
9、1.2 2yx2解方程组 ，得 . 所求三角形的面积为 S |OA|y| .21yx24y12 28(2)证明：设直线 PQ 的方程是 yxb，直线 PQ 与已知圆相切， 1，即 b22.|b|2由 得 x22bxb 210. 设 P(x1，y 1)、 Q(x2，y 2)，则21yx 212x又 y1y2(x 1b )(x2b)， x 1x2y 1y22x 1x2b( x1x 2)b 22(1b 2)2b 2b 2b 220. 故OPQOPOQ.(3)证明：当直线 ON 垂直于 x 轴时，|ON|1，| OM| ，则 O 到直线 MN 的距离为 .22 33当直线 ON 不垂直于 x 轴时，设
10、直线 ON 的方程为 ykx(显然 )，k8 / 9则直线 OM 的方程为 y x. 由 得1k 241ykx224ky|ON|2 .同理|OM| 2 . 设 O 到直线 MN 的距离为 d.1 k24 k2 1 k22k2 1(|OM|2|ON| 2)d2| OM|2|ON|2， 3，即 d .1d2 1|OM|2 1|ON|2 3k2 3k2 1 33综上，O 到直线 MN 的距离是定值五、能力提升1若不论 k 为何值，直线 y=k(x-2)+b 与双曲线 总有公共点，则 b 的取值范围12yx是（ ）(A) (B) (C) (D) 3,3,2,2过双曲线 的右焦点 F 作直线 交双曲线于
11、 A、B 两点，若|AB|=4，则这样的12yxl直线 有（ ）l(A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条3过点 的直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，且abP,1l0,12bayx这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（ ）(A)2 (B)4 (C) 1 或 2 (D) 2 或 44. 已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 的直线与0,2bayx 45双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）(A) (1，2 (B)（1，2) (C) 2，+ ) (D) (2，+)6直线 与双曲线 的右支交于不同两点，则 k 的取值范围是 2:kxyl 6:2yxC7. 已知倾斜角为9 / 9的直线 被双曲线 截得的弦长 ，求直线 的方程4l6042yx28ABl8. 设直线 与双曲线于 相交于 A、B 两点，且弦 AB13:xyl 0,12bayx中点的横坐标为 2(1)求 的值；(2) 求双曲线离心率2ba9. 已知双曲线 的离心率 ，左、右焦点分别为 、0,12bayx 21e1F，左准线为 ，能否在双曲线的左支上找到一点 P，使得 是 P 到 的距离 与2Fl 1Fld的等比中项？P
