1、 - 1 -直线与椭圆的位置关系专题讲义知识点 1：直线与椭圆位置关系、弦长问题：将直线方程 （或 ）代入椭圆方程： ，bkxybmy12byax)0(a整理得到关于 x（或 y）的一个一元二次方程 （或 ）02CBACByA当 直线 与椭圆相交；l当 直线 与椭圆相切；当 直线 与椭圆相离。若直线 ： 与椭圆 相交于 A，B 两点，lbkxy)0(12bayx弦长公式：|AB或 焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦叫通径。通径公式为：_ .例 1.当 m 为何值时，直线 y=x+m 与椭圆 相交？相切？相离？1962yx练习、直线
2、y=mx+1 与椭圆 x2+4y2=1 有且只有一个交点，则 m2=（ ）(A) (B) (C) (D) 2134354例 2、直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 x2/9+y2/m=1 总有公共点，求实数 m 的取值范围是（ ）A、1/2m9 B、9m10 C、1m9 D、1 m9练习、若直线 与椭圆 恒有公共点，求实数 的取值范围 )(1Rkxy152myxm例 3、求直线 xy1=0 被椭圆 截得的弦长1462yx练习、已知椭圆： ，右顶点为 A，过左焦点 作倾斜角为 的直线交椭圆192yx 1F6于 两点，求弦 的长及 的面积。NM、 MN- 2 -知识点 2：中点弦问题（点
3、差法）例 4 椭圆 内有一点 P（2，1） ，求经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程。4162yx练习、如果椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）19362yx)2,4(A. B. C. D.02yx00123yx082yx例 5、求直线 y=x+1 被椭圆 x2+2y2=4 截得的弦的中点坐标。练习、已知椭圆 的一条弦的斜率为 3，它与直线 的交点恰为这条弦的中点 ，1257xy 21xM求点 的坐标。M例 6.已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点。2:1(0)xyEab(3,0)F,AB若 的中点坐标为 ，则 的方程为 ( )AB,)EA. B. C.
4、D.214536xy21367xy2178xy219xy练习、已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐)50,(F23:xyl标为 ，求椭圆的方程。21- 3 -知识点 3：椭圆中的最值问题例 7. 已 知 椭 圆 ： ， ， 是 椭 圆 上 一 点ExyPxy2516()（1）求 x+y 的最大值（2）求点 P 到直线 x-y+10=0 的距离的最小值。练习：求椭圆 上的点到直线 的最小距离1342yx 02yx知识点 4.直线椭圆综合问题例 8（12 北京）已知椭圆 C：2xa+ yb=1（ab0）的一个顶点为 A （2,0） ，离心率为 2， 直线 y=k(x-1)与
5、椭圆 C 交与不同的两点 M,N（）求椭圆 C 的方程（）当AMN 的面积为 103时，求 k 的值 练习【12 陕西】已知椭圆 ，椭圆 以 的长轴为短轴，且与 有相同的离心率。21:4xCy2C11C（1 ）求椭圆 的方程；2（2 ）设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 和 上， ，求直线 的方程。1C2OBAB- 4 -例 9(2013 课标全国 2)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M： (a b0)右焦点的直线2=1xy交 M 于 A， B 两点， P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 .30xy(1)求 M 的方程；(2)C， D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对
6、角线 CD AB，求四边形 ACBD 面积的最大值例 10（ 2014 新课标 2）设 F1 ，F 2 分别是椭圆 C： 12byax（ab0）的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N。（I）若直线 MN 的斜率为 43，求 C 的离心率；（II）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5|F 1N|，求 a，b- 5 -直线与椭圆的位置关系专题基础训练一、选择题1.已知椭圆 C: ,过点 与椭圆 C 只有一个交点的直线方程是 （ 24xy2,0P）（A）x+2=0 （B）x-2=0 （C）y+2=0 （D） y-2=02
7、直线 与椭圆 的位置关系为 （ 1yk2194xy）（A）相切 （B）相交 （C）相离 （D）不确定3椭圆 上的点到直线 的最大距离是 （ 2164x20xy）（A）3 （B） （C） （D）12104.直线 被椭圆 所截的弦的中点坐标是 （ yx24）（A）( 1, ) （B）( 3, ) （C）( 1, 3) （D）( 3, 2)5.已知椭圆 ，椭圆内一点 ,则以 为中点的弦所在的直线的斜率是 （ 2369xy(42P）（A） 21 （B） 1 （C）2 （D）26设定点 F1（0，3） 、F 2（0，3） ，动点 P 满足条件 ，则点 P 的轨迹是 )0(921aPF（ ）A椭圆 B线段
8、 C不存在 D椭圆或线段二、填空题7.方程 表示椭圆，则 m 的取值范围为 192kyx8. 椭圆 的焦点 、 ， 为椭圆上的一点，已知 ，则 的面积25+=1F2P21PF21为 _ 9 称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆” ，则黄金椭圆的离心率为 10.（浙江卷 13）已知 21F、 为椭圆 1952yx的两个焦点，过 1F的直线交椭圆于 A、B 两点 若 2BAF，则 A= 。11.（海南卷 15）过椭圆 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点，O 为2154xy坐标原点，则OAB 的面积为_12.经过椭圆 的一个右焦点作倾斜角为 的直线 ，交椭圆于 、 两点设 O
9、为坐21xy45l标原点，则 等于 。OAB三、简答题13、已知椭圆 的左右焦点分别为 F1,F2，若过点 P（0，-2）及 F1的直线交椭圆于 A,B12yx两点，求|AB|及 的面积ABF14. 已知椭圆 及直线 142yxmxy（1 ）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？m（2 ）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程50- 6 -15.已知椭圆方程为 ，内有一条以点 为中点的弦 ，求 所在的直线 的21xy1,2PABl方程及 的弦长。AB16、已知中心在原点，长轴在 x 轴上的椭圆, ，若椭圆被直线 x+y+1=0 截得的弦的中点ca32的横坐标是 ，求椭圆的方程。3217.椭圆 C
10、: 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上，且21(0)xyab12124,|,|.3PFPF（）求椭圆 C 的方程；（）若直线 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心，交椭圆 C 于 A、B 两点，且 A、B 关于点 M 对称，求l直线 的方程.l18.已知圆 及点 ， 为圆 上任一点，线段 的垂直平分线与线2:(1)6Bxy(1,0)AMBAM段 的交点为 ，设点 的轨迹为曲线 。MPC（1 ）求曲线 的轨迹方程；C（2 ）过点 且倾斜角为 的直线与曲线 交于 两点， 为原点，求 的面积；(,4)34,EFOEF（3 ）过点 的直线 与曲线 交于 两点，且线段 被点 平分，求直
11、线 的方,1l,RSRS(1,)l程。 642245 5BAoMPxy1- 7 -直线与椭圆的位置关系专题能力提高1.设 , 分别是椭圆 E： + =1（0b1）的左、右焦点，过 的直线 L 与 E 相交于1F2 2xyb1FA、B 两点，且 ， ， 成等差数列。AB2F求 若直线 L 的斜率为 1，求 b 的值。2.椭圆2:1(0)xyCab的离心率为 32，且过 (,0)点。（1 ）求椭圆 C 的方程；（2 ）设直线 :lyxm与椭圆 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 OAB直角三角形， 求m的值。3.（2013 年高考陕西卷（文）已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的
12、距离是它到点 N(1,0)的距离的 2倍. () 求动点 M 的轨迹 C 的方程; () 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率. 4椭圆 C的对称中心为原点 O，焦点在 x轴上，离心率为 12， 且点（1 ， 32）在该椭圆上.（I）求椭圆 的方程；（II）过椭圆 的左焦点 1F的直线 l与椭圆 C相交于 ,AB两点，若 O的面积为 76，求圆心在原点 O 且与直线 l相 切的圆的方程. - 8 -5 （2013 年高考天津卷（文）设椭圆 的左焦点为 F, 离心率为 , 过点 F 且与21(0)xyab3x 轴垂直的直
13、线被椭圆截得的线段长为 . 43() 求椭圆的方程; () 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点 , 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若, 求 k 的值 . 8CD6.设直线 与椭圆 C： 相交于 ， 两点，且 过椭圆 C 的右:lyxb12ayx()ABl焦点，若以 为直径的圆经过椭圆的左焦点，求该椭圆 C 的方程。AB7.2014全国新课标卷 已知点 P(2，2)，圆 C：x 2y 28y0，过点 P 的动直线 l与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点(1)求 M 的轨迹方程；(2)当| OP|OM|时，求 l 的方程及 POM 的面积8.2014北京卷 已知椭圆 C：x 22y 24.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，求线段AB 长度的最小值
