1、二次函数 图象的位置与 a、 b、 c 的关系 2yaxbc1【基本内容】二次函数 的对称轴为_,顶点坐标为_21、 的符号由 决定：a开口方向向 0；开口方向向 0.aa2、 的符号由 决定；b对称轴在 轴的左侧 ；yb、对称轴在 轴的右侧 ；a、对称轴是 轴 0.3、 的符号由 决定：c抛物线与 y 轴交于正半轴 0；c抛物线与 y 轴交于负半轴 0； 抛物线过原点 0.c4、 的符号由 决定：ab2抛物线与 轴有 交点 b2-4ac 0；x抛物线与 轴有 交点 b2-4ac 0；抛物线与 轴有 交点 b2-4ac 0； 特别的，当 =1 时， = ；y当 =-1 时， = .x二次函数的
2、图象与性质具体如下图所示：巩固练习：1、已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列4 个结论中：abc0；b0；b 2-4ac0；b=2a.正确的是 （填序号）xyoxyoxyoxyoxyoxyoa 0、 b 0c 0、 abc 0a 0、 b 0c 0、 abc 0a 0、 b 0c 0、 abc 0a 0、 b 0c 0、 abc 0a 0、 b 0c 0、 abc 0a 0、 b 0c 0、 abc 0b2-4ac 0 b2-4ac 0 b2-4ac 0 b2-4ac 0 b2-4ac 0 b2-4ac 0xy y=ax 2+bx+c-1 O 1xyx=1 0-1二
3、次函数 图象的位置与 a、 b、 c 的关系 2yaxbc2xyO2 1212、根据图象填空，：（1） 0 ， 0 ， 0， 0.（2）b 2-4ac 0 （3） 0； 0；cacba（4）当 时， 的取值范围是 ；xy当 时， 的取值范围是 .3.若一条抛物线 的顶点在第二象限，交于 y 轴的正半轴，与 x 轴有两个交点，cbxay2则下列结论正确的是（ ）.A.a0,bc0; B.a0,bc0; C. a0, bc0; D.a0, bc04.已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是2（ ）A、ac0 B、a-b+c0 C、b=-4a D、关于 x 的方程
4、ax +bx+c=0 的根是 x1=-1，x 2=525、已知二次函数 y=ax +bx+c（a 0）的图象如图所示，有下列结论：b -4ac0； abc0 8a+c0； 9a+3b+c02其中，正确结论的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、46已知反比例函数 的图象在二、四象限，则二次函数xky的图象大致为（ ）22xky7 （2014威海）已知二次函数 y= ax +bx+c（a0）的图象如图，2则下列说法：c=0；该抛物线的对称轴是直线 x=1；当 x=1 时，y=2a； am +bm+a0（m 1） 2其中正确的个数是（ ）A、1 B、2 C、 3 D、48 （2014仙游县二模）
5、已知二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图所示，给出以下结论：a+b+c0；a b+c0； b+2a0；abc0其中所有正确结论的序号是（ ）A B C DOyOxA B C D二次函数 图象的位置与 a、 b、 c 的关系 2yaxbc39 （2014南阳二模）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：a0；c0；b 24ac0； 0 中，正确的结论有（ ）A、1 B、2 C、 3 D、410 （2014襄城区模拟）函数 y=x2+bx+c 与 y=x 的图象如图，有以下结论：b24c0；c b+1=0；3b+c+6=0； 当 1x3 时，
6、 x2+（b 1）x+c0其中正确结论的个数为（ ）A 1 B 2 C 3 D411 （2014宜城市模拟）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x=1，且过点（ 3，0）下列说法：abc0；2ab=0 ；4a+2b+c0；若（ 5，y 1） ， （2，y 2）是抛物线上的两点，则 y1y 2其中说法正确的是（ ）12 （2014莆田质检）如图，二次函数 y=x2+（2m ）x+m3 的图象交 y 轴于负半轴，对称轴在 y 轴的右侧，则 m 的取值范围是（ ）A m2 B m3 C m3 D2m3A B C D二次函数 图象的位置与 a、 b、 c 的关系 2yaxb
7、c413 （2014玉林一模）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（3，0） ，对称轴为x=1给出四个结论：b24ac；2a+b=0；3a+c=0； a+b+c=0其中正确结论的个数是（ ）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个14 （2014乐山市中区模拟）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，顶点坐标为（1，n） ，与y 轴的交点在（0，2） 、 （0，3）之间（包含端点） 有下列结论：当 x3 时，y0；3a+b0；1 a ； n4其中正确的是（ ）A B C D15 （2014齐齐哈尔二模）已知二次函数 y=ax2+bx
8、+c（a0）的图象与 x 轴交于点（1，0） ， （x 1，0） ，且 1x 12，下列结论正确的个数为（ ）b0；c 0；a+c0；4a2b+c0A 1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个16 （2014 年 四川南充）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）图象如图，下列结论：abc0；2a+b=0；当 m1 时，a+b ；ab+c0；若 = ，且bm2 12bxa2bxa则 =221x21其中正确的有（ ） A B C D 17二次函数 的图象如图，对称轴为直线 x=2.若关于 x 的一元二次方程 (t 为实数)2yxb 20xb在1x1 的范围内有解，则 t 的取值范围是（ ）A. t
9、1 B. 4t5O xy2二次函数 图象的位置与 a、 b、 c 的关系 2yaxbc5C. 1t 1 D. -3t518 （ 14 年 泰 安 ） 二 次 函 数 y=ax2+bx+c（ a、 b、 c 为 常 数 ， 且 a0） 中 的 x 与 y 的 部 分 对 应 值 如 下 表 ：下列结论：（1）ac0； （2）当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而减小（3）3 是方程 的一个根；0axbc（4）当1x3 时， 2其中正确的个数为（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个x -1 0 1 3y -1 3 5 3二次函数 图象的位置与 a、 b、 c 的关系 2yaxbc61 （
10、2014威海）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图，则下列说法：c=0；该抛物线的对称轴是直线 x=1； 当 x=1 时，y=2a；am 2+bm+a0（m1） 其中正确的个数是（ ）A 1 B 2 C 3 D4考点： 二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有分析： 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答： 解：抛物线与 y 轴交于原点，c=0， （故正确） ；该抛物线的对称轴是： ，直线 x=1， （故正确） ；当 x=1 时，y=a+b+c对称轴是直线 x=1，b/2a=1，b=2a，又
11、 c=0，y=3a， （故 错误） ；x=m 对应的函数值为 y=am2+bm+c，x=1 对应的函数值为 y=ab+c，又 x=1 时函数取得最小值，ab+cam 2+bm+c，即 abam 2+bm，b=2a，am2+bm+a0 （m1） （故 正确） 故选：C点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数 y=ax2+bx+c（a0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定2 （2014仙游县二模）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图所示，给出以下结论：a+b+c0；a b+c0； b+2a0；abc0其中所有正确结论
12、的序号是（ ）A B C D考点： 二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有二次函数 图象的位置与 a、 b、 c 的关系 2yaxbc7专题： 数形结合分析： 由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答： 解：当 x=1 时，y=a+b+c=0，故错误；当 x=1 时，图象与 x 轴交点负半轴明显大于1，y=ab+c0，故正确；由抛物线的开口向下知 a 0，对称轴为 0x= 1，2a+b 0，故正确；对称轴为 x= 0，a0a、b 异号，即 b0，由图知抛物线与 y 轴交于正半轴，c
13、0abc0，故错误；正确结论的序号为 故选：B点评： 二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a0；否则 a0；（2）b 由对称轴和 a 的符号确定：由对称轴公式 x= 判断符号；（3）c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则 c0；否则 c0；（4）当 x=1 时，可以确定 y=a+b+c 的值；当 x=1 时，可以确定 y=ab+c 的值3 （2014南阳二模）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：a0；c0；b 24ac0； 0 中，正确的结论有（ ）A 1 个 B 2
14、 个 C 3 个 D4 个考点： 二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有专题： 数形结合分析： 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答： 解：图象开口向下， a0；故本选项正确；该二次函数的图象与 y 轴交于正半轴， c0；故本选项正确；二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个不相同交点，根的判别式=b 24ac0；故本选项二次函数 图象的位置与 a、 b、 c 的关系 2yaxbc8正确；对称轴 x= 0， 0；故本选项正确；综上所述，正确的结论有
15、 4 个故选 D点评： 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题4 （2014襄城区模拟）函数 y=x2+bx+c 与 y=x 的图象如图，有以下结论：b24c0；c b+1=0；3b+c+6=0； 当 1x3 时， x2+（b 1）x+c0其中正确结论的个数为（ ）A 1 B 2 C 3 D4考点： 二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有分析： 由函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点，可得 b24c0；当 x=1 时，y=1b+c0；当 x=3 时，y=9+3
16、b+c=3；当 1x3 时，二次函数值小于一次函数值，可得 x2+bx+cx，继而可求得答案解答： 解： 函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点，b24ac0；故正确；当 x=1 时，y=1b+c0，故错误；当 x=3 时，y=9+3b+c=3，3b+c+6=0；正确；当 1 x3 时，二次函数值小于一次函数值，x2+bx+cx，x2+（b 1）x+c0故正确故选 C点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用5 （2014宜城市模拟）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x=1，且过点（ 3，0）下列说法：abc0；2ab
17、=0 ；4a+2b+c0；若（ 5，y 1） ， （2，y 2）是抛物线上的两点，则 y1y 2其中说法正确的是（ ）二次函数 图象的位置与 a、 b、 c 的关系 2yaxbc9A B C D考点： 二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有分析： 根据抛物线开口方向得到 a0，根据抛物线的对称轴得 b=2a0，则 2ab=0，则可对进行判断；根据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方得到 c0，则 abc 0，于是可对进行判断；由于 x=2 时，y0，则得到 4a2b+c0，则可对进行判断；通过点（5，y 1）和点（2，y 2）离对称轴的远近对进行判断解答： 解： 抛物线开口向上，a0，抛物线对
18、称轴为直线 x= =1，b=2a 0，则 2ab=0，所以 正确；抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，c0，abc0，所以 正确；x=2 时，y0，4a+2b+c0，所以错误；点（ 5，y 1）离对称轴要比点（2，y 2）离对称轴要远，y1 y2，所以正确故选 D点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c（a0） ，二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a与 b 异号时（即 a
19、b0） ，对称轴在 y 轴右 （简称：左同右异） 抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛物线与 x 轴交点个数：=b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b 24ac=0 时，抛物线与 x 轴有1 个交点；=b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点6 （2014莆田质检）如图，二次函数 y=x2+（2m ）x+m3 的图象交 y 轴于负半轴，对称轴在 y 轴的右侧，则 m 的取值范围是（ ）A m2 B m3 C m3 D2m3考点： 二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有分析： 由于二次函数的对称轴在 y 轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于 m 的不等式，由图象交 y 轴于负
20、半轴也可得到关于 m 的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解二次函数 图象的位置与 a、 b、 c 的关系 2yaxbc10解答： 解： 二次函数 y=x2+（2m ）x+m 3 的图象交 y 轴于负半轴，m3 0，解得 m3，对称轴在 y 轴的右侧，x= ，解得 m2，2 m3故选：D点评： 此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与 y 轴的交点解决问题7 （2014玉林一模）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（3，0） ，对称轴为x=1给出四个结论：b24ac；2a+b=0；3a+c=0； a+b+c=0其中正确结论的个数是（
21、）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个考点： 二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有分析： 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答： 解： 抛物线的开口方向向下，a0；抛物线与 x 轴有两个交点，b24ac0，即 b24ac， 正确；由图象可知：对称轴 x= =1，2a=b， 2a+b=4a，a0，2a+b0，错误；图象过点 A（ 3，0） ，9a3b+c=0，2a=b ，所以 9a6a+c=0，c=3a ，正确；抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，c0由图象可知：当 x=1 时 y=0，
