1、24.2.1 点和圆的位置关系教学设计一、设计理念本课从问题情景：要学生解难入手，建立模型，设下悬念，然后让学生探究两个问题，将探究的结论应用解决实际问题。本课的一个关键点就是围绕着学生活动来展开，由学生身边的事所引出的数学问题使学生体会到数学与生活的紧密和谐的关系。朴素的问题情景（套圈）对学生产生了一种情感上的亲和力和感召力，增强了学生的自主参与性；通过观察、操作、思考、解释、合作等教学活动过程，使学生体会到了创造的乐趣和成功的喜悦，对培养和发展学生的几何思维能力也起到一定的帮助作用。21cnjy二、教学目标知识与技能 （1）知道并会用点和圆的三种位置关系及数量间的关系解决有关问题。（2）通
2、过探究过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法。权所有：21 教育】过程与方法 通过生活中实际例子，探求点和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而渗透数形结合、分类讨论等数学思想。情感、态度与价值观 通过本节知识的学习，体验点和圆的位置关系与生活中的射击、投掷等活动紧密相连，感知数学就在身边，从而更加热爱生活，激发学生学习数学的兴趣。育网版权所有三、教学重点难点重点：（1）点和圆的三种位置关系，（2）过三点的圆。难点：用数量关系判断点和圆的位置关系教学突破：本节课始终以学生的探究发现、动手操作、合作交流为主线，通过层层设问，适时指导，引导学生去探究点和圆的三种位置关系和过三
3、点的圆。21 教育名师原创作品四、教学过程设计活动一：探究点和圆的位置关系问题 1、大家都参与过或看过这样一个游戏套圈，如果我们班同学都公平的加入到这个游戏中来， 我们应站成一个什么图形？ 师生活动：教师创设问题情境，提出问题学生思考，教师进而提出解决这个问题要研究点和圆的位置关系设计意图：，由学生身边的事所引出的数学问题使学生体会到数学与生活的紧密和谐的关系。朴素的问题情景（套圈）对学生产生了一种情感上的亲和力和感召力，增强了学生自主参与性。 师生活动：圆形。教师追问 1：为什么围成圆形游戏就公平？师生活动：学生思考后得到，圆上各点到圆心的距离都相等，如果用符号，设圆的半径为 r，点到圆心的
4、距离为 d，那么就由点和圆的位置关系得到 d 与 r的数量关系，即：点在圆上 d=rwww-2-1-cnjy-com设计意图：通过问题，既复习了圆的定义，又为本节课学习点和圆的位置关系作好铺垫。问题 2、甲、乙两人分别站在 图中O 的 A、B 两点处，他们 正准备参加游戏，丙、丁两人也赶来参加，分别站 在图中的 P、Q 两点处，如果你是甲同学，你会有什么看法？ 师生活动：学生小组讨论后得到，这样游戏不公平。丙到圆心的距离大于半径，丁到圆心的距离小于半径，对丁来说，他占优势。进而得到圆的内部的点到圆心的距离小于半径。即：点在圆内 dr；点在圆外 dr设计意图：让学生通过游戏的方式感受由点和圆的位
5、置关系得到 d 与 r 的数量关系，加深学生对所学内容的理解。问题 3、后来小明也来参加游戏，他站在图中所示的 M 点， 但是地上的线已经模糊了，问小明怎样才能知道自己恰好站在圆上呢？ 师生活动：学生思考后回答，当 OM=OA=r，即 M 到圆心的距离等于半径时，就知道小明恰好站在圆上。教师追问 1：为什么 M 到圆心的距离等于半径 M 就在圆上？师生活动：学生讨论归纳总结：到圆心距离相等的点都在圆上。于是得到由 d=r可推导点在圆上， dr 可推导点在圆内， dr 可推导点在圆外。这样由点与圆的位置关系能得到 d 与 r 的数量关系，反过来，又可以由 d 与 r 的数量关系来刻画点与圆的位置
6、关系。教师追问 2：一个圆把平面上的点分成几部分？师生活动：学生思考得到一个圆把平面上的点分成三部分，即圆上的点、圆外的点、圆内的点。教师追问 3：我们知道圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，从集合观点，圆的内部、圆的外部可以看成什么样的点的集合？【出处：21 教育名师 】师生活动：圆的内部可以看成到圆心的距离小于半径的点的集合，圆的外部可以看成到圆心的距离大于半径的点的集合。设计意图：通过三个问题的追问，让学生明确由点和圆的位置关系可以得到点到圆心的距离与半径之间的数量关系，反过来由数量关系又可以来刻画点和圆的位置关系，并可以从集合的观点来描述平面上的点。设O 的半径为 r，点 P 到
7、圆心的距离 OP = d，则有：点 P 在圆内 dr教师板书以上结论并介绍：符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端，从右端可以得到左端。【来源：21cnj*y.co*m】设计意图：点和圆的位置关系通过点与圆心的距离和半径进行确定，这也是判断点和圆的位置关系的依据。点与圆的位置关系的简单应用：1 O 的半径 10cm，A、B、C 三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点 A、B、C 与O 的位置关系是：点 A 在_；点 B在_ ；点 C 在_ 2 O 的半径 6cm，当 OP=6cm 时，点 A 在_ ；当 OP _cm 时点 P 在圆内；当 OP _cm 时，点
8、 P 不在圆内设计意图：点和圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外；它是由点 P 到圆心的距离和圆的半径的数量关系决定的，在运用这一性质时应注意“形”与“数”之间的转化。活动二：探究过三点的圆问题 4：如图，做经过已知点 A 的圆，这样的圆你能做出多少个？师生活动：学生画图，教师巡回指导，在学生遇到困难时，适当给予启发和帮助。小组派代表交流画图过程，特别是圆心和半径的确定。A设计意图：让学生能通过动手操作，讨论交流得到结论：经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面。问题 5：如图做经过已知点 A、 B 的圆，这样的圆你能做出多少个？他们的圆心分布有什么特点？师生活动：一起
9、探究问题，学生先思考、谈解题思路、尝试解答，教师引导全班同学认真倾听、发现亮点、找出不足并予以纠正设计意图：学生能通过自己动手画图更深刻地感受经过平面上两点的圆有无数个，它们的圆心在线段 AB 的垂直平分线上。问题 6：经过三点做一个圆，如何确定这个圆的圆心？师生活动：在小组讨论过程中，深入到小组中去，了解情况，如果有需要，应给予点拨、指导，并将发现的问题记在心中。学生经过思考会得到：三点A、 B、 C 不在同一条直线上，因为所求的圆要经过 A、 B、 C 三点，所以圆心到这三点的距离相等，因此这个点要在线段 AB 的垂直的平分线上，又要在线段BC 的垂直的平分线上在师生的共同分析，动手画图，
10、一生叙述作图过程，师板演过程尺规作图细节。分别连接 AB、 BC、 AC；分别作出线段 AB 的垂直平分线 l1 和 l2，设他们的交点为 O ，则OA=OB=OC；以点 O 为圆心，OA（或 OB、 OC）为半径作圆，便可以作出经过A、 B、 C 的圆由于过 A、 B、 C 三点的圆的圆心只能是点 O，半径等于 OA，所以这样的圆只能有一个。教师追问 1：是不是过任意三点都能画一个圆？结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆教师追问 2：为什么要这样强调？经过同一直线的三点能作出一个圆吗？设计意图：通过三种情况的探究，发现只有当三个点不在同一直线上时，才可以确定一个圆，让学生亲身经历数学的探究
11、过程。21 教育网活动三：三角形的外接圆和外心经过三角形的三个顶点可以做一个圆 ，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。设计意图：结合具体图形加深学生对三角形的外接圆和外心的认识。【来源：21世纪教 活动四：目标检测设计：1 判断下列说法是否正确（1）任意的一个三角形一定有一个外接圆 （ ）（2）任意一个圆有且只有一个内接三角形 （ ）（3）经过三点一定可以确定一个圆 （ ）（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 （ ）设计意图
12、：考察学生对三角形外心的理解和掌握。2 若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为（ ）A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形设计意图：考察学生对三角形外心的位置的理解和掌握。3 正方形 ABCD 的边 长为 2cm，以 A 为圆心 2cm 为半径作A，则点 B 在A _ ；点 C 在 A _；点 D 在 A _21世纪*教育网设计意图：考察学生对点和圆的位置关系的理解和掌握。4 已知 AB 为O 的直径，P 为O 上任意一点，则点 P 关于 AB 的对称点P与O 的位置为（ ）2-1-c-n-j-yA 在O 内 B 在O 外 C 在O 上 D 不能确定设计意图：考
13、察学生对点和圆的位置关系的理解和掌握。5 已知O 的面积为 9，判断点 P 与O 的位置关系（1）若 PO=4.5，则点 P 在_；（2）若 PO=2，则点 P 在_；（3）若 PO= _，则点 P 在圆上 设计意图：考察学生对点和圆的位置关系的理解和掌握。6 爆破时，导火索燃烧的 速度是每秒 0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点 120m 以外的的安全区域，已知这个导火索的长度为 18cm，如果点导火索的人以每秒 6.5m 的速度撤离，那么是否安全？为什么？设计意图：综合考察学生利用点和圆的位置关系解决实际问题的能力。活动五：反思小结 作业布置通过本节课的学习，你有哪些收获？有何感想？作业：课本 101 页第 1、7题设计意图：通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本节所学与以前所学的知识进行紧密联系，有利于学生认识数学思想、数学方法，积累数学活动的经验。通过作业进一步巩固所学内容。5、板书设计24.2.1 点和圆的位置关系一、点和圆的位置关系OAr 点 A 在圆内OBr 点 B 在圆上OCr 点 C 在圆外二、探究过三点的圆1、过不在同一直线的三点可做一个圆2、反证法r3、三角形的外接圆，外心
