1、第 1 页 共 7 页ByCxAOD BOCA与圆有关的最值（取值范围）问题引例 1：【2012 年武汉市中考】在坐标系中，点 A 的坐标为(3，0)，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点 C 是第一象限内一点，且 AC=2设 tanBOC=m，则 m 的取值范围是_引例 2：【2013 年武汉市元月调考试题】如图，在边长为 1 的等边OAB 中，以边 AB 为直径作D，以 O 为圆心 OA 长为半径作O，C 为半圆弧 上的一个动点（不与 A、B 两点重合） ，射线 AC 交O 于点BE，BC= ，AC= ，求 的最大值.aba引例 3：【2013 年武汉市四月调考试题】如图，BAC=60，半
2、径长为 1 的圆 O 与BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点，以 P 为圆心，PA 长为半径的圆 P 交射线 AB、AC 于 D、E 两点，连接 DE，则线段 DE 长度的最大值为( ).A3 B6 C D323一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1引例 1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义） ，寻找动点 C 与两个定点 O、A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2引例 2：通过圆的基
3、本性质，寻找动点 C 与两个定点 A、B 构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3引例 3：本例动点的个数由引例 1、引例 2 中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点 D、E 与一个定点 A 构成三角形的不变条件（DAE=60），构造弦 DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦 DE 与半径 AP 之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何
4、原理却无法通透.二、解题策略1直观感觉，画出图形；2特殊位置，比较结果；3理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.【2013 年武汉市中考】如图，E、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AEDF，连接 CF 交BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是 第 2 页 共 7 页BACMDDOPCBACBOPA【2014 年武汉市四月调考试题】如图，P 为的O 内的一个定点，A 为O 上的一个动点，射线 AP、AO 分别与O 交于 B、C 两点若O 的半径长为
5、3，OP ，则弦 BC 的最大值为3A2 B3 C D3 3 6 2【2014 年武汉市元月调考试题】 如图，扇形 AOD 中， AOD90，OA6，点 P 为弧 AD 上任意一点（不与点 A 和 D 重合） ，PQOD 于 Q，点 I 为OPQ 的内心，过 O，I 和 D 三点的圆的半径为 . 则r当点 P 在弧 AD 上运动时， 的值满足（ ）rA B C D30r323r23r三、中考展望与题型训练方法一、找出与圆的最近点、最远点（极端位置）1如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=4，BC=3，点 D 是平面内的一个动点，且 AD=2，M 为 BD 的中点，在 D 点运动过程中，
6、线段 CM 长度的取值范围是 .2如图，O 的直径为 4，C 为O 上一个定点，ABC=30，动点 P 从 A 点出发沿半圆弧 向 BA点运动（点 P 与点 C 在直径 AB 的异侧)，当 P 点到达 B 点时运动停止，在运动过程中，过点 C 作 CP 的垂线CD 交 PB 的延长线于 D 点在点 P 的运动过程中，线段 CD 长度的取值范围为 ；方法二、正弦定理如图，ABC 中，BAC=60，ABC=45，AB= ，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径作2O 分别交 AB，AC 于 E，F 两点，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为 IQOADP第 3 页 共 7 页lQPN
7、MOADB CEFCA D BQPODCEA B方法三、柯西不等式在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心，2 为半径画O，P 是O 上一动点，且 P 在第一象限内，过点 P 作O 的切线与 轴相交于点 A，与 轴相交于点 B，线段 AB 长度的最小值是 .xy方法四、利用函数求最值如图，已知半径为 2 的O 与直线 l 相切于点 A，点 P 是直径 AB 左侧半圆上的动点，过点 P 作直线 l的垂线，垂足为 C，PC 与O 交于点 D，连接 PA、PB，设 PC 的长为 x（2x4） ，则当 x= 时，PDCD 的值最大，且最大值是为 .方法五、借助对称求最值如图，已知，O 的直径 CD
8、为 4，点 A 在O 上，ACD=30，B 为弧 AD 的中点，P 为直径 CD 上一动点，求 BP+AP 的最小值【题型训练】1如图，已知直线 l 与O 相离，OAl 于点 A，OA=5，OA 与O 相交于点P，AB 与O 相切于点 B，BP 的延长线交直线 l 于点 C，若在O 上存在点Q，使QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，则O 的半径 r 的取值范围为 .2如图，M，N 的半径分别为 2cm，4cm，圆心距 MN=10cmP 为M 上的任意一点，Q 为N 上的任意一点，直线 PQ 与连心线 所夹的锐角度数为 ，当 P、Q 在两圆上任意运动时， 的最大值为( ).ltan(A) (
9、B) (C) (D)6143334（1 题） （2 题）3如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=8，BC=6，经过点 C 且与边 AB 相切 的动圆与 CA、CB 分别相交于点P、Q，则线段 PQ 长度的最小值是( ).A B C5 D94245 44如图，在等腰 RtABC 中，C=90，AC=BC=4，D 是 AB 的中点，点 E 在 AB 边上运动（点 E 不与点 A 重合），过 A、D、E 三点作O，O 交 AC 于另一点 F，在此运动变化的过程中， 线段 EF 长度的最小值为 第 4 页 共 7 页（3 题） （4 题） （5 题）5如图，线段 AB=4，C 为线段 AB 上的
10、一个动点，以 AC、BC 为边作等边ACD 和等边BCE，O 外接于CDE，则O 半径的最小值为( ).A.4 B. C. D. 223326如图，A、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，C 的圆心的坐标为(-1，0)，半径为 1，若 D 是C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点 E，则ABE 面积的最小值是( ).A2 B1 C. D.22（6 题） （7 题） （8 题）7如图，已知 A、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为 1，D 是C 上的一个动点，射线 AD 与 y 轴交于点 E，则ABE 面积的最大值是( ).A3 B
11、C 103 D4138如图BAC60，半径长 1 的O 与BAC 的两边相切，P 为O 上一动点，以 P 为圆心，PA 长为半径的P 交射线 AB、AC 于 D、E 两点，连接 DE，则线段 DE 长度的范围为 .9、如图，已知线段 OA 交O 于点 B，且 OBAB，点 P 是O 上的一个动点，求OAP 的最大值。10、如图，AB 是O 的一条弦，点 C 是O 上一动点，且ACB=30，点E、F 分别是 AC、BC 的中点，直线 EF 与O 交于 G、H 两点，若O 的半径为 7，求 GE+FH 的最大值。 11、如图，在 RtAOB 中，OA=OB=3 ，O 的半径为 1，点 P 是 AB
12、 边上的动点，过点 P 作O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点） ，求 PQ 的最小值第 5 页 共 7 页12、在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0） ，直线y=kx3k+4 与O 交于 B、C 两点，求弦 BC 的长的最小值。13、设 AB 是O 的动切线，与通过圆心 O 而互相垂直的两直线相交于 A 、B，O 的半径为 r，求 OAOB 的最小值。14、如图，圆 O 与正方形 ABCD 的两边 AB、AD 相切， E 与圆 O 上一点若圆 O 的半径为 4，且AB=7，求 DE 的最大值15、如图，在O 上有定点 C 和动点 P，位于直径 AB 的异侧，
13、过点 C 作 CP 的垂线，与 PB 的延长线交于点 Q，已知：O 半径为 ，tanABC= ，求 CQ 的最大值16、在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（6，0） ，点 B（0，6） ，动点 C 在以半径为 3 的O 上，连接y B P r O A x 第 6 页 共 7 页OC，过 O 点作 ODOC，OD 与O 相交于点 D（其中点 C、O、D 按逆时针方向排列） ，连接ABAC，BC，当点 C 在O 上运动时，求出ABC 的面积的最大值17、如图所示，已知 ， 为反比例函数 图像上的两点，1(,)2Ay2(,)B1yx动点 在 正半轴上运动，当线段 与线段 之差达到最大时，(,0
14、)PxAPB点 的坐标是（ ）A. B. 1(,)2(1,0)C. D. 305218、 、如图，定长弦 CD 在以 AB 为直径的O 上滑动（点 C、D 与点 A、B 不重合） ，M 是 CD 的中点，过点 C 作 CPAB 于点 P，若 CD=3，AB=8，求 PM 长度的最大值19、 如图，已知直角AOB 中，直角顶点 O 在半径为 1 的圆心上，斜边与圆相切，延长 AO，BO分别与圆交于 C，D试求四边形 ABCD 面积的最小值yxOABP第 7 页 共 7 页综合点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！
