1、一、 等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理“三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。逆定理： 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。简言之： 三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。证明：已知: ABC 中，AD 是BAC 的角平分线， AD 是 BC 边上的中线，求证：ABC 是等腰三角形。分析：要证等腰三角形就是要证 AB=AC，直接通过证明这两条线所在的
2、三角形全等不行，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅 助线的方法是“延长加倍” ，即延长 AD 到 E 点，使AD=ED，由此问题就解决了。证明：延长 AD 到 E 点，使 AD=ED，连接 CE在ABD 和ECD 中AD=DEADB=EDCBD=CDABDECDAB=CE, BAD= CEDAD 是BAC 的角平分线BAD=CADCED=CADAC=CEAB=ACABC 是等腰三角形。三个逆定理中以逆定理在几何证明的应用中尤为突出。证明：已知: ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，AD 是BC 边上的高，求证：ABC 是等腰三角形。分析：通过（ASA）的方法来证明ABD 和AC
3、D 的全等，由此推出 AB=AC 得出ABC 是等腰三角形证明：已知: ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，又是 BC 边上的高，求证：ABC 是等腰三角形。分析：AD 就是 BC 边上的垂直平分线，用（SAS）的方法来证明ABD 和ACD 的全等，由此推出 AB=AC 得出ABC 是等腰三角形。 （即垂直平分线的定理）二、 “三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用（1）逆定理的简单应用例题 1已知：如图，在ABC 中，AD 平分BAC，CD AD,D为垂足，ABAC。求证：2=1+B分析：由“AD 平分BAC，CDAD”推出 AD 所在的三角形是等腰三角形，所以延长 CD 交 AB 于点
4、 E，由逆定理得出AEC 是等腰三角形由此就可得出2=AEC，又AEC= 1+B ，所以结论得证。（2）逆定理与中位线综合应用例题 1已知： 如图，在ABC 中，AD 平分BAC，交 BC 于点D，过点 C 作 AD 的垂线，交 AD 的延长线于点 E，F 为BC 的中点，连结 EF。求证： EFAB，EF=(AC-AB) 分析： 由已知可知，线段 AE 既是BAC 的角平分线又是 EC 边上的高，就想到把 AE 所在的等腰三角形构造出来，因而就可添辅助线“分别延长 CE、AB 交于点 G”。简单证明：由逆定理得出AGC 是等腰三角形，点 E 是 GC 的中点EF 是BGC 的中位线得证。例题
5、 2如图，已知：在ABC 中，BD、CE 分别平分ABC, ACB,AGBD 于 G，AF CE 于 F，AB=14cm,AC=9cm,BC=18cm.求： FG 的长。分析：通过已知条件可以知道线段 CF 和 BG 满足逆定理的条件，因此就想到了分别延长 AG、AF 来构造等腰三角形。简单证明：分别延长 AG、AF 交 BC 于点 K、H 由逆定理得出ABK 是等腰三角形点 G 是 AK 的中点同理可得点 F 是 AH 的中点FG 是AHK 的中位线由此就可解出 FG 的长。（3）逆定理与直角三角形的综合应用例题 1已知，如图，AD 为 RtABC 斜边 BC 上的高，ABD 的平分线交 A
6、D 于 M，交 AC 于P, CAD 的平分线交 BP 于 Q。求证：QAD 是等腰三角形。分析：由直角三角形的性质可知道AQM=90，由此线段 BQ 满足了逆定理 2 的条件，所以想到延长 AQ 交 BC 于点 N。简单证明：由添辅助线得出ABN 是等腰三角形Q 点是 AN 的中点在 Rt AND 中，Q 是中点QA=DQ,得证。例题 2如图，在等腰ABC 中，C=90，如果点 B 到A 的平分线 AD 的距离为 5cm,求 AD 的长。分析：已知条件满足了逆定理 2，所以延长 BE 和 AC，交于点 F。简单证明：由所添辅助线可知ABF 是等腰三角形E 点是 BF 的中点BF=2BE=10
7、再由ADC 和BFC 的全等得出 AD=BF结论求出。对已知条件的合理剖析，找出关键语句，满足定理条件，添加适当的辅助线来构造等腰三角形，以达到解决问题的目的。（4）逆定理的简单应用（即垂直平分线的应用）例题 1 （2006 年宝山区中考模拟题）如图，已知二次函数 y=ax2+bx 的图像开口向下，与 x 轴的一个交点为 B，顶点 A 在直线 y=x 上，O 为坐标原点。 证明: AOB 是等腰直角三角形分析：由抛物线的对称性可添辅助线-过点 A 作 ADx 轴，垂足为 D 及直线 y=x 的性质，可以知道AOB 是等腰直角三角形。例题 2如图，以ABC 的边 AB，AC 为边分别向形外作正方
8、形 ABDE 和 ACFG，求证：若 DFBC,则 AB=AC分析：从已知条件出发想到了正方形的性质：边，角以及对角线：边的相等，角的相等并都等于 90 度，现要证明等腰三角形，能与其最密切的想到是否也能构造直角呢？于是就想到了添辅线 AH简单证明：分别过点 A、D、F 作 AHBC，DIBC,FJ BC,分别交 BC 于点 H，CB 的延长线于 I，BC 的延长线于 J由 DFBC，DI=FJ又 AHCCJF（AAS） ，ABHBDI(AAS)HC=FJ,BH=DIBH=HC,得证。抓住已知条件和结论的联系， （例题 1 中抛物线的对称性和等腰三角形的垂直平分线之间的内在联系，例题 2 中正
9、方形中直角的信息获得与等腰三角形的垂线间的间接联系， ）通过获取的信息以及对等腰三角形“三线合一”性质的逆定理的熟练把握，再进行对题目的重新整合，就能快速做出解题的策略，添加相应的辅助线，对于解题有很大的帮助。（5）逆定理在作图中的应用已知：线段 m， 及，求作 ABC ，使ABC= ，ACB=，且 AB+BC+CA=m分析：对于作图题，一般先在草稿纸上画出要求作图形的草图，再把相应的已知条件在图上标出，通过对草图的解剖与分析再把图用尺规规范的做出。通过草图的分析，直接得到所求三角形不行，由已知三边的和为 m 以及外角的性质我们可以找到一顶点 A，再由垂直平分线与边的交 点找到另两个顶点B 和 C。作法：1、画射线 OP，在 OP 上截取线段 OQ=m,2、画射线 OM，使MOP=1/2 3、画射线 QN，使NQO=1/2,交射线 OM 于点 A4、分别作 AO、AQ 的垂直平分线，交 OQ 于 B，C 两点，ABC 就是所求三角形。等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在辅助线教学中的应用不但可以强化学生解题的能力，而且加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为学生开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的本质，在教学中教师要及时融入没、，这样才有助于学生拓宽思路，丰富联想，从而达到融会贯通的目的。
