立体几何中的轨迹问题.doc

1、例析空间中点的轨迹问题的转化求空间图形中点的轨迹既是中学数学学习中的一个难点，又是近几年高考的一个热点，这是一类立体几何与解析几何的交汇题，既考查空间想象能力，同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的基本思想。一轨迹为点例 1 已知平面 ，直线 ，点 P ，平面 之间的距离为 8，|ll,则在 内到 P 点的距离为 10 且到直线 的距离为 9 的点的轨迹是 ( )A一个圆 B.两条直线 C.两个点 D.四个点解析:设 Q 为 内一动点，点 P 在 内射影为 O，过 O, 的平面与l的交线为 ， PQ=10， OQ= 6 点 Q 在以 O 为圆心 6 为l2810半径圆上

2、，过 Q 作 QM 于 M，又 点 Q 到直线 的距离为ll9 QM= 则点 Q 在以 平行距离为 的两条平行线上1782l17两条平行线与圆有四个交点 这样的点 Q 有四个，故答案选 D。点评:本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用平面几何知识解决，要熟记一些平面几何点的轨迹。二 轨迹为线段例 2 如图，正方体 中，点 P 在侧面 及其边界1ABCD1BC上运动，并且总保持 ，则动点 P 的轨迹是（ ） 。 P lMOQPA. 线段 B.线段 C. 中点与 中点连成的线段 1BC1BC1B1CD. 中点与 中点连成的线段1解：连结 ，易知 所以,A11DA，所以 面 ，若 P

3、 ，则11BDCBB1C1B平面 ，于是 ，因此动点 P 的轨迹是线段 。P1PC评注：本题是由线面垂直的性质从而求出点 P 的轨迹。例 3 已知圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形，O 为底面中心，M 为 SO 的中点，动点 P 在圆锥底面内(包括圆周) ，若，则点 P 的轨迹是 _。形成的轨迹的长度为A_。解析:在平面 SAB 中，过 M 作 AM 的垂线交 AB 于 C，在底面上，过 C 作 AB 的垂线分别交底面圆于 D,E 两点，则 AM 面 MDE,DE即为点 P 的轨迹，又 AO=1,MO= ,AM= ,从而 AC= ,OC= ,所以23274743DE= .所以填上

4、线段； .2743127三 轨迹为直线例 4 (北京高考题) 如图，AB 是平面 的斜线段，A 为斜足，过点B 作直线 与 AB 垂直，则直线 与平面 交点的轨迹是 ( )l l ABA圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线解析: 由题意可知直线 的轨迹应是过点 B 且与 AB 垂直的平面，该l平面与平面 交点为一条直线，故答案选 C.四.轨迹为圆弧 例 5 如图，P 是棱长为 1 的正方体 表面上的动点，1ABCD且 AP= ，则动点 P 的轨迹的长度为_。2解析:由已知 AC=AB1=AD1= ,在面 BC1, 面 A1C1, 面 DC1 内分别有2BP=A1P=DP=1，所以动点

5、P 的轨迹是在面 BC1, 面 A1C1, 面 DC1 内分别以 B,D,A1 为圆心， 1 为半径的三段圆弧，且长度相等，故轨迹长度和为 。233五.轨迹为平面 例 6.不共面的四个定点到平面 的距离都相等，这样的平面 个数为( ). . . .解析：以不共面的四个定点为顶点构造四面体，则满足条件的平面可分两类。第一类是中截面所在的平面有个；第二类是和一组对棱平行且经过其它各棱中点的平面有个，故满足条件的平面个数为. 故答案选.评注：本题关键在于构造空间四边形，利用四面体的性质去求解。六. 轨迹为圆例 7，如图，三角形 PAB 所在的平面 和四边形 ABCD 所在的平面垂直，且 ，AD=4，

6、BC=8，AB=6， ，BCAD, CPBAD则点 P 在平面 内的轨迹是 ( ) A圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分解析:由条件易得 AD|BC，且 ，AD=4，BC=8 ，可得CPBAD CD BPA= 即 ，在平面 PAB 内以 AB 所在PBCADtan,tan2ADCBP的直线为 x 轴，AB 的中点 O 为坐标原点，建立直角坐标系，则A（-3，0）,B（3，0） ，设 P(x,y),则有 ，整理可得一223yxPAB个圆的方程即 。由于点 P 不在直线 AB 上，故09102xyx此轨迹为圆的一部分故答案选 A.点评:本题主要考查空间轨迹问题，是

7、在立体几何与解析几何的交汇处命制的创新题，既考查了空间想象能力，又考查了代数方法(坐标法)研究几何轨迹的基本思想。七.轨迹为抛物线例 8.如图，正方体 的棱长为 1，点 M 在棱 AB 上，且1ABCDAM= ，点 P 是平面 ABCD 上的动点，且动点 P 到直线 的距离13 1AD与动点 P 到点 M 的距离的平方差为 1，则动点 P 的轨迹是( ). A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线分析：动点的轨迹问题是解析几何中常见的问题，因此我们可以把立体关系转化到平面上去，利用解析几何的知识将问题解决。解：设 于点 F，过点 P 作 于点 E，连结 EF，则1PADAD平面 PEF

8、， ，即 。因为 ，且E1/221PFM，所以 。由抛物线定义知点 P 的222F轨迹是以点 M 为焦点，AD 为准线的抛物线，故应选 B.评注：从立体转化到平面，从平面到直线，显然是在逐级降维，平面比立体简单，直线又比平面简单，这是复杂向简单的转化。八 .轨迹为椭圆例 9，(浙江高考题) 如图，AB 是平面 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面 内运动，使得 的面积为定值，则动点 P 的轨迹是 ( ) ABPA圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线解析:由题意可知 的面积为定值 点 P 到 AB 的距离也为定值，ABP点 P 在空间中的轨迹应是以 AB 为旋转轴的圆柱面，又点 P 在平

9、面 内运动，所以动点 P 的轨迹应该是圆柱面被平面 所截出的椭 圆。故答案选 B。点评:本题主要考查轨迹问题，注意交轨法的应用。 九.轨迹为双曲线例 10.(2010 年重庆高考题)到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( ) A. 椭圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线 解析: 构造正方体模型，在边长为 a 的正方体 中，DC1ABCD与 A1D1 是两条相互垂直的异面直线，平面 ABCD 过直线 DC 且平行于 A1D1，以 D 为原点，分别以 DA,DC 为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系，设点 P(x,y)在平面 ABCD 内

10、且到 DC 与 A1D1 之间的距离相等，所以 ， 。故答案选 C 2ayx22ayxPABy xPAD BCBA1C1D1点评:本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用解析几何法求解，实现从立体几何到解析几何的过渡，这里用解析几何的知识解决立体几何中的计算问题，恰好是当今高考的命题方向。本题考查立体几何，解析几何知识，考查学生的空间想象能力，灵活运用知识解决问题的能力和创新意识，构造正方体模型，简化了思维难度。十.轨迹为球例 11.如图，在棱长为 6 的正方体 中，长度为 4 的线1ABCD段 MN 的一个端点 N 在 DD1 上运动，另一个端点 M 在底面 ABCD上运动，则

11、 MN 的中点 P 的轨迹与其顶点 D 的正方体的三个面所围成的几何体的体积是_。解析:由 ND 平面 ABCDN在 中，P 为斜边 MN 的中点，NDMRt则 故点 P 的轨迹是以 D 为球心，2 为半径的球面，与其221顶点 D 的正方体的三个面所围成的几何体是八分之一球体。因此.343481V点评:本题主要考查空间想象能力和推理能力以及球的体积计算，确定点 P 的轨迹是关键。含两个变量的不等式化归和构造策略PMND CBA近几年在高考试题的函数压轴题中，经常出现含有两个变量的不等式证明问题，面对两个变量学生会感觉无从下手，造成找不到解题的突破点；下边通过几道例题，让大家感受化归和构造的策

12、略。策略一：当两个变量可以分离时，根据其两边结构构造函数，利用单调性证明不等式。例 1（2010 年辽宁文科 21）已知函数 .2()1ln1fxax（）讨论函数 的单调性； ()fx（）设 ，证明：对任意 ，2a12,(0,)x。112|()|4|fxfx解：() f(x)的定义域为(0,+ )， .21(aaxfx当 a0 时， 0，故 f(x)在(0,+ )单调增加；f 当 a1 时， 0, 故 f(x)在(0,+ )单调减少；()x当1a0 时，令 0,解得 x= .当 x(0, )时, f 12a12a0；x( ，+ )时， 0, 故 f(x)在（0, ）单)f 12a()f调增加，

13、在（ ，+ ）单调减少.() 不妨假设 x1x 2.由于 a2,故 f(x)在（0，+ ）单调减少.所以 等价于 4x 14x 2 , 即 f(x2)+ 1)(4ff124x2f(x 1)+ 4x1.令 g(x)=f(x)+4x,则 +4 .()ag41a于是 0.()gx241x2()x从而 g(x)在（0，+ ）单调减少，故 g(x1) g( x2)，即 f(x 1)+ 4x1f( x2)+ 4x2，故对任意 x1,x2(0,+ ) ，. 122)当 e0 时，f(x)0 得 x ，1a 1af(x)在(0， )上单调递 减，在( ，)上单调递 增，1a 1a即 f(x)在 x 处有极小值

14、1a当 a0 时，f(x )在(0， ) 上没有极值点；当 a0 时，f(x)在(0 ，)上有一个极值点函数 f(x)在 x1 处取得极值，a1，f(x)bx 21 b，1x ln xx令 g(x)1 ，1x ln xx则 g(x) ，2x2 ln xx2g(e 2) 0，从而可得 g(x)在(0，e 2上单调递减，在e 2，)上单调递增，g(x )ming(e 2)1 ，即 b1 .1e2 1e2由知 g(x)1 在(0，e 2)上单调递减，1 ln xx0g(y)，即 .1 ln xx 1 ln yy当 00， ；yx1 ln y1 ln x .yx1 ln y1 ln x策略二、当两个变量分离不开时通过作差或作商等策略略将两个变量划归为一个变量，再构造函数利用函数单调性进行证明。例 3、已知函数 （）若 x=2 是函数 f（x）的极值点，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）若函数 f（x）在（0，+）上为单调增函数，求 a 的取值范围；