1、 分析时代第七章第七章 分析时代 微积分的创立，被誉为 “人类精神的最高胜利 ”（恩格斯）在 18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交炽在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了 “分析 ”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域在数学史上， 18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期 英国早期作出重要贡献的数学家有：泰勒、麦克劳林、棣莫弗、斯特林等。 麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态微积分发明权的争论滋长了不列颠数学家的民族保守情绪，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚 7.1 18世纪的数学家 7.1.1 泰勒和麦克劳林 英格兰
2、数学家泰勒 (Brook Taylor,1685 1731)做过英国皇家学会秘书他在 1715年出版的 正的和反的增量方法 一书中，陈述了他早在 1712年就已获得的著名定理泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性 泰勒公式在 时的特殊情形后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教科书中一直把 x=0时的泰勒级数称为 “麦克劳林级数 ” 麦克劳林 (Colin Maclaurin, 1698 1746, 苏格兰 )是牛顿微积分学说的竭力维护者，他在这方面的代表性著作 流数论 （ 1742），以纯熟却难读
3、的几何语言论证流数方法，试图从 “若干无例外的原则 ”出发严密推演牛顿的流数论，这是使微积分形式化的努力，但因囿于几何传统而并不成功 麦克劳林是一位数学上的奇才。他 11岁就考上了格林斯哥大学。 15岁取得硕士学位，并且为自己关于重力的功的论文作了杰出的公开答辩。 19岁就主持阿伯丁的马里沙学院数学系，并于 21岁发表其第一本重要著作 构造几何 。 他 27岁成为爱丁堡大学数学教授的代理或助理。 他关于流数的论文是在他 44岁 (只在死前 4年 )发表的，这是麦克劳林为了答复英国哲学家、牧师伯克莱对微积分学原理的攻击而写的，也是牛顿流数法的第一篇符合逻辑的、系统的解说。 麦克劳林级数：7.1.
4、2 伯努利家族在数学和科学的历史上最著名的家族之一是瑞士伯努利家族 .从十七世纪末叶以来，这个非凡的瑞士家族在三代时间里生出了八个数学家 (其中三个是杰出的 )，他们又生出了在许多领域里崭露头角的成群后代这个家族的记录开始于雅各布 伯努利 (16541705) 和约翰 伯努利 (16671748) 兄弟。他们都是莱布尼茨忠实的学生与朋友他们的工作，构成了现今所谓初等微积分的大部分内容 雅各布 伯努利对数学的主要贡献是： 发表过无穷级数的论文 研究过许多特殊曲线 推导出平面曲线的曲率半径公式 引入伯努利数 发明极坐标 提出概率论中的伯努利定理或大数定律雅各布 伯努利从小喜爱科学，但父亲执意要他学
5、神学，于是一有机会他便尽早放弃了神学。他自学了牛顿和莱布尼兹的微积分，从 1687年起直到去世任巴塞耳 (Basel)大学数学教授 雅格 布 伯努利(瑞， 1654-1705)约翰的著作，内容很广泛，它包括： 与反射和折射有联系的光学问题 曲线族的正交轨线的确定 用级数求曲线的长和区域的面积 解析三角学 最速降线问题和等时线问题 比起哥哥来，弟弟约翰 伯努利更是一位多产的数学家。他原来也 错选 了 职业 ，起先学医，并在 1694年 获 巴塞耳大学博士学位， 论 文是关于肌肉收 缩问题 的 受哥哥的影响， 他也 爱 上了微 积 分， 并 很快就掌握了它，用它来解决几何学、微分方程和力学上的 许 多 问题 1695年 ， 他任荷 兰 格 罗 宁根(Groningen)大学数学物理学教授，而在他哥哥雅 各 布死后 继任巴塞耳大学教授 约翰 伯努利(瑞， 1667-1748)
