1、九年级 第 2 讲 专题精讲 1专题二旋转学习要点与方法点拨：出题位置：选择、填空最后一道题和倒数第二道题，压轴题最后两道“旋转”在苏教版中是一个独立章节，在中考和平时的考试张经常出现，结合三角形，四边形等基本图形考察学生对旋转的应用。同时，旋转对解决动点问题有极大的帮助。1、 基本图形一：将AOB 旋转至AOB，图、分别可以得到结论？ 旋转点会有一组对角相等（考题规律，如果已知条件为较小的角度相等，则题目一定需要较大的角相等；如果条件给出较大的角相等，则一定需要较小的角相等）2、 基本图形二：将AOB 旋转至AOB，连接 AA与 BB，分别在图、 中证明OAA与OBB相似。旋转后连接得到的两
2、个三角形相似。因为旋转的两个三角形全等，连接后出现等腰三角形，顶角相等；则底角亦相等；或根据夹角成比例证明相似。3、 解题步骤（1 ） 第一步：找旋转点，角相等；（2 ） 第二步：证全等、相似；（3 ） 第三步：利用全等、相似得到边、角条件。第九年级 第 2 讲 专题精讲 2模块精讲例 1.在锐角ABC 中，AB=4，BC=5，ACB=45，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到A 1BC1（1）当点 C1在线段 CA 的延长线上时，如图 1，求CC 1A1的度数；（2）如图 2，ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，连接 AA1，CC 1，若ABA 1的面积为 4，求CBC 1的面积；（3
3、）点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点是点P1，求线段 EP1长度的最大值与最小值例 2.已知ABC 是等边三角形.（1）将ABC 绕点 A 逆时针旋转角（0 180），得到ADE，BD 和 EC 所在直线相交于点 O.如图 a，当 =20时，ABD 与ACE 是否全等？ （填“是”或“否”），BOE= 度；当ABC 旋转到如图 b 所在位置时，求BOE 的度数；（2）如图 c，在 AB 和 AC 上分别截取点 B和 C，使 AB=AB,AC=AC,连接 BC，将ABC绕点 A 逆时针旋转角（0 180），得到
4、ADE.BD 和 EC 所在直线相交于点 O，请利用图 c 探索BOE 的度数，直接写出结果，不必说明理由.九年级 第 2 讲 专题精讲 3例 3.（一）如图,在ABC 和ADE 中,AB=AC,AD=AE,BAC=DAE=90当点 D 在 AC 上时,如图(1),线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论；将图(1)中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 角（090）,如图（2）,线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由（2）当ABC 和ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段 BD、CE 在（1）中的位置关系仍然成立?不必说明理由甲：AB：AC=A
5、D：AE=1,BAC=DAE90；乙：AB：AC=AD：AE1,BAC=DAE=90；丙：AB：AC=AD：AE1,BAC=DAE90例 4.【2016扬州】已知正方形 ABCD 的边长为 4，一个以点 A 为顶点的 45角绕点 A 旋转，角的两边分别与边 BC、DC 的延长线交于点 E、F，连接 EF。设 CE=a，CF=b。 （1）如图 1，当EAF 被对角线 AC 平分时，求 a、b 的值； （2）当AEF 是直角三角形时，求 a、b 的值； （3）如图 3，探索EAF 绕点 A 旋转的过程中 a、b 满足的关系式，并说明理由。例 5.【2016淮安】问题背景：如图，在四边形 ADBC
6、中，ACBADB90，ADBD，探究线段 AC、BC、九年级 第 2 讲 专题精讲 4CD 之间的数量关系. 小吴同学探究此问题的思路是：将 BCD 绕点 D 逆时针旋转 90到 AED 处，点 B、C 分别落在点 A、E 处（如图），易证点 C、A、E 在同一条直线上，并且 CDE 是等腰直角三角形，所以 CE CD，从而得出结论：AC+BC CD.图图图 图 图简单应用： （1 ）在图中，若 AC ，BC2 ，则 CD . （2 ）如图，AB 是O 的直径，点 C、D 在 O 上，弧 AD弧 BD，若 AB13，BC12，求 CD 的长。 拓展延伸： （ 3）如图，ACB ADB90，AD
7、BD，若 ACm，BCn（mn），求 cd 的长(用含 m，n 的代数式表示)（4 ）如图，ACB90，ACBC，点 P 为 AB 的中点，若点 E 满足 AE AC，CE CA，点 Q 为 AE 的中点，则线段PQ 与 AC 的数量关系是 . 例 6.【2016宿迁】已知ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=2，D 是边 AB 上一动点（A、B 两点除外），将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 得到CEF，其中点 E 是点 A 的对应点，点 F 是点 D 的对应点九年级 第 2 讲 专题精讲 5（1）如图 1，当 =90时，G 是边 AB 上一点，且 BG=AD，连接 GF求证：GFAC；
8、（2）如图 2，当 90180时，AE 与 DF 相交于点 M当点 M 与点 C、D 不重合时，连接 CM，求CMD 的度数；设 D 为边 AB 的中点，当 从 90变化到 180时，求点 M 运动的路径长课堂练习1.将两块全等的三角板如图摆放，其中A 1CB1=ACB=90，A 1=A=30（1）将图中的A 1B1C 顺时针旋转 45得图，点 P1是 A1C 与 AB 的交点，点 Q 是 A1B1与 BC 的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图中，若 AP1=2，则 CQ 等于多少？（3）如图，在 B1C 上取一点 E，连接 BE、P 1E，设 BC=1，当 BEP 1B 时，求P 1BE
9、面积的最大值九年级 第 2 讲 专题精讲 6课后巩固习题 1在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(3，4)，将 OA 绕坐标原点 O 旋转 90至 OA，则点 A的坐标是2如图，在平面直角坐标系 xOy 中， A B C由 ABC 绕点 P 旋转得到，则点 P 的坐标为(第 2 题图)(第 3 题图)3如图，在 Rt ABC 中， ACB90， B60， BC2， A B C 可以由 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到，其中点 A与点 A 是对应点，点 B与点 B 是对应点，连结 AB，且 A， B， A在同一条直线上，则 AA的长为4把二次函数 y( x1) 22 的图象绕原点旋转 180
10、后得到的图象的表达式为5如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，Rt ABC 的三个顶点 A(2，2)， B(0，5)，C(0，2)(1)将 ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180，得到 A1B1C，请画出 A1B1C 的图形(2)平移 ABC，使点 A 的对应点 A2坐标为(2，6)，请画出平移后对应的 A2B2C2的图形(3)若将 A1B1C 绕某一点旋转可得到 A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标(第 5 题图)6如图，将 ABC 绕点 C(0，1)旋转 180得到 A B C，设点 A 的坐标为( a， b)，则点 A的坐标为()九年级 第 2 讲 专题精讲 7A.
11、( a， b) B. ( a， b1)C. ( a， b1) D. ( a， b2)（第 6 题图) (第 7 题图)(第 8 题图)7如图， COD 是 AOB 绕点 O 顺时针旋转 40后得到的图形，若点 C 恰好落在 AB 上，且 AOD 的度数为 90，则 B 的度数是 ()A. 50 B. 60C. 70 D. 758如图，两个边长相等的正方形 ABCD 和 EFGH，正方形 EFGH 的顶点 E 固定在正方形 ABCD 的对称中心位置，正方形 EFGH 绕点 E 顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为 S，旋转的角度为 ， S 与 的函数关系的大致图象是()9如图，把一个斜边长为
12、2 且含有 30角的直角三角尺 ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90到 A1B1C，则在旋转过程中这个三角尺扫过的图形的面积是(D)A. B. C. D. 334 32 1112 34(第 9 题图)(第 10 题图)10在 Rt ABC 中，已知 C90， B50，点 D 在边 BC 上， BD2 CD.把 ABC 绕着点 D 逆时针旋转m(0 m180)度后，如果点 B 恰好落在初始 Rt ABC 的边上，那么 m. 11如图，等腰 Rt ABC 中， ACB90， AC BC1，且 AC 边在直线 a 上，将 ABC 绕点 A 顺时针旋转到位置可得到点 P1，此时 AP1 ；将位置的
13、三角形绕点 P1顺时针旋转到位置，可得到点 P2，此时2九年级 第 2 讲 专题精讲 8AP21 ；将位置的三角形绕点 P2 顺时针旋转到位置，可得到点 P3，此时 AP32 ；，按此规律继2 2续旋转，直至得到点 P2016 为止则 AP2016(第 11 题图)12在数学兴趣小组的活动中，小明进行数学探究活动，将边长为 2 的正方形 ABCD 与边长为 2 的正方形2AEFG 按图位置放置， AD 与 AE 在同一直线上， AB 与 AG 在同一直线上(1)小明发现 DG BE，请你帮他说明理由(2)如图，小明将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，当点 B 恰好落在线段 DG 上时，请
14、帮他求出此时 BE 的长(3)如图，小明将正方形 ABCD 绕点 A 继续逆时针旋转，线段 DG 与线段 BE 将相交，交点为 H，写出 GHE 与BHD 面积之和的最大值，并简要说明理由(第 12 题图)13在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验如图，表盘是 ABC，其中 AB AC， BAC120，在点 A 处有一束红外光线 AP，从 AB 开始，绕点 A 逆时针匀速旋转，每秒钟旋转 15，到达 AC 后立即以相同旋转速度返回 AB，到达后立即重复上述旋转过程小明通过实验发现，光线从 AB 处旋转开始计时，旋转 1 s，此时光线 AP交 BC 边于点 M， BM 的长为(20 20)
15、 cm.3九年级 第 2 讲 专题精讲 9(1)求 AB 的长(2)从 AB 处旋转开始计时，若旋转 6 s，此时光线 AP 与 BC 边的交点在什么位置？若旋转 2014 s，交点又在什么位置？请说明理由(第 13 题图)14. 如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90，B=E=30（1）操作发现如图 2，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：线段 DE 与 AC 的位置关系是_；设BDC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是_九年级 第 2 讲 专题精讲 10（2）猜想论证当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60，点 D 是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB 交 BC 于点 E（如图 4）若在射线 BA 上存在点 F，使SDCF =SBDE ，请直接写出相应的 BF 的长
