1、初二数学（下） 知识改变命运创造未来 成功在励志 成才要得法 1二次根式定义及性质教学内容：1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：， ， ，并利用它们进行计算和化简2.重点： ； ， 及其运用3.难点：利用 ， ， 解决具体问题.知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如 (a0) 的式子叫做二次根式， “ ”称为二次根号知识点二：二次根式的性质1. ；2. ；3. ；4. 积的算术平方根的性质： ；5. 商的算术平方根的性质： .知识点三：代数式形如5，a，a+b，ab ， ，x 3， 这些式子，用基本的运算符号 (基本运算包括加、减、乘、除、乘方
2、、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).初二数学（下） 知识改变命运创造未来 成功在励志 成才要得法 2经典例题透析类型一：二次根式的概念例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、 、 、 (x0) 、 、 、 、 、 (x0，y0)思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0解：二次根式有： 、 (x0) 、 、 、 (x0，y0)；不是二次根式的有： 、 、 、 例2、当x是多少时， 在实数范围内有意义？思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x
3、-10， 才能有意义解：由3x-10，得：x当x 时， 在实数范围内有意义总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数举一反三【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？(1) ； (2) ；解：(1)由 0，解得：x取任意实数 当x取任意实数时，二次根式 在实数范围内都有意义.(2)由x-10，且x-10，解得：x1 当x1时，二次根式 在实数范围内都有意义.初二数学（下） 知识改变命运创造未来 成功在励志 成才要得法 3【变式2】当x是多少时， + 在实数范围内有意义？思路点拨：要使 + 在实数范围内有意义，必须同时满足 中的2x+30和 中的x+10解：
4、依题意，得由得：x-由得：x-1当x- 且x-1时， + 在实数范围内有意义类型二：二次根式的性质例1、计算：(1) (2) (3) (4) (5) (b0) (6)思路点拨：我们可以直接利用 (a0) 的结论解题解：(1) (2) = ； (3) ；(4) = ； (5) ；(6) 举一反三【变式1】计算：(1) ； (2) ；初二数学（下） 知识改变命运创造未来 成功在励志 成才要得法 4(3) ； (4) .思路点拨：(1)因为x0，所以x+10； (2)a 20；(3)a 2+2a+1=(a+1)20； (4)4x 2-12x+9=(2x)2-22x3+32=(2x-3)20所以上面的
5、4题都可以运用 的重要结论解题解：(1)因为x0，所以x+10；(2)a 20， ；(3)a 2+2a+1=(a+1)2又(a+1) 20，a 2+2a+10， =a2+2a+1；(4)4x 2-12x+9=(2x)2-22x3+32=(2x-3)2又(2x-3) 204x 2-12x+90， =4x2-12x+9.例2、化简:(1) ； (2) ； (3) ； (4) .思路点拨：因为(1)9=3 2， (2)(-4)2=42，(3)25=5 2，(4)(-3) 2=32，所以都可运用 去化简解：(1) = =3； (2) = =4；(3) = =5； (4) = =3.例3、填空：当a0时
6、， =_；当a0时， =_， 并根据这一性质回答下列问题(1)若 =a，则a可以是什么数？(2)若 =-a，则a 可以是什么数？(3) a，则a可以是什么数？思路点拨： =a(a0)，初二数学（下） 知识改变命运创造未来 成功在励志 成才要得法 5要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( ) 2”中的数是正数，因为，当a0时， = ，那么-a0(1)根据结论求条件；(2) 根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1) 、(2)可知 ，而 要大于a，只有什么时候才能保证呢？解：(1)因为 ，所以a0；(2)因为 ，所以a0；(3)因为当a0时 ，要使 ，即使a a所以a
7、不存在；当a0时， ，要使 ，即使-aa，即a0；综上，a0.类型三：二次根式性质的应用例1、当x=-4时，求二次根式 的值.思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.解：将x=-4代入二次根式，得 = .例2、(1)已知y= + +5，求 的值(2)若 + =0，求 的值解：(1)由 可得 ， ，(2)例3、在实数范围内分解因式：(1)x 2-5； (2)x 3-2x； 解:(1)原式 初二数学（下） 知识改变命运创造未来 成功在励志 成才要得法 6.(2)原式.学习成果测评基础达标一、选择题1.下列式子中，不是二次根式的是( )A B C D2.已知一个正
8、方形的面积是5，那么它的边长是( )A5 B C D以上皆不对3.(福建省福州市)若代数式 在实数范围内有意义，则 x的取值范围为( ) Ax0 Bx0 Cx 0 Dx0且x 14 的值是( ) A0 B C 4 D 以上都不对5a0时， 、 、 ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是( )A BC D6.(辽宁省大连市) 如图，数轴上点N表示的数可能是( ) A BC D初二数学（下） 知识改变命运创造未来 成功在励志 成才要得法 7二、填空题1.若 ，则 x = _.2.若 有意义，则 的取值范围是_.3- =_4. =_. 5. =_. 6.若 ，则 _.7.若 ，则 _；若 ，则 _
9、.8.化简： =_.9. 计算：(1) =_；(2) =_；(3) =_。10.(内蒙古鄂尔多斯市)如图，在数轴上，A、B两点之间表示整数的点有 _个三、解答题1. 求下列二次根式中字母a的取值范围：初二数学（下） 知识改变命运创造未来 成功在励志 成才要得法 8(1) ， (2) ； (3) .2.某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要， 底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？能力提升一、选择题1.使式子 有意义的未知数x有( ) 个A0 B1 C2 D无数2.(山西省临汾市) 若 ，则 与3 的大小关系是( ) A B C D3.下列计算正确的是( ) A
10、 B C D4.(福建省厦门市) 下列四个结论中，正确的是( ) A. B. C. D. 二、填空题1.若 ，则 _.2若 是一个正整数，则正整数m 的最小值是_3.已知实数 在数轴上的对应点如图所示，则 _.三、解答题初二数学（下） 知识改变命运创造未来 成功在励志 成才要得法 91.当x是多少时， +x2在实数范围内有意义？2.若 + 有意义，求 的值.3.(北京市海淀区) 已知实数x，y满足 ，求代数式 的值.4.已知 ，求x+y的值.综合探究1.(福建省南安市) 观察分析下列数据，寻找规律：0， ， ，3，2 ， ，3 ，那么第10个数据应是_.2.(江苏省苏州市)等式 中的括号应填入
11、 _.3先化简再求值：当a=9时，求a+ 的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+ =a+(1-a)=1；乙的解答为：原式=a+ =a+(a-1)=2a-1=17两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_4. 若 时，试化简 .5在实数范围内分解下列因式:(1) ； (2) .二次根式定义及性质测试题一、复习1、什么叫平方根？开平方？ 2、平方根如何表示？初二数学（下） 知识改变命运创造未来 成功在励志 成才要得法 103、求下列各数的平方根： 4、求下列各数的正平方根：（1）4； （2）0.16； （3） . （1）225; （2）0.0001； （3） .925168二、二次根式
12、的意义1. 二次根式的意义代数式_叫做二次根式，读作_,其中_是被开方数. 通常把形如_的式子也叫做二次根式.2二次根式何时有意义二次根式有意义的条件是_.3. 例题例题1 下列各式是二次根式吗？、 、 、 、 、 .23212a)0(b24ac例题2 设x是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1） ； （2） ； （3） ； （4） .xx121x4练习（一）设x是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1） ; （2） ； （3） .3x21x三、二次根式的性质性质1：_; 性质2：_; 性质3：_; 性质4：_.例题3 求下列二次根式的值：（1） ； （2） ，其中 .)(12x3x
