1、重点、难点：用描点法画出二次函数的图象，从图象上认识二次函数的性质.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题.重点、难点解析：二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型.二次函数也是一种非常基本的初等函数，它作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，对二次函数的研究将为进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验.在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学习函数知识的过程中的一个重要
2、环节，起到承上启下的作用，为进入高中后进一步学习函数知识奠定基础.一、二次函数的定义和性质1.二次函数的定义：形如 (a0，a，b，c 为常数)的函数为二次函数.2.二次函数的性质：(1)二次函数 y=ax2 (a0)的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是 y 轴；当 a0 时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a0 时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大.(2)二次函数 的图象是一条抛物线.顶点为(- ， )，对称轴 ；当 a0 时，抛物线开口向上，图象有最低点，且 x- ，y 随 x 的增大而增大，x- ，y 随 x 的增大而减小；当 a0 时，抛物线开口向下，图象有
3、最高点，且 x-，y 随 x 的增大而减小，x- ，y 随 x 的增大而增大.(3)当 a0 时，当 时，函数有最小值 ；当 a0 时，当 时，函数有最大值.3.二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的各项系数 a、b、c 对其图象的影响(1)a 决定抛物线的开口方向和开口大小：a0，开口向上；a0，开口向下. |a|的越大，开口越小.|a|相等，抛物线全等. (2)a 与 b 决定抛物线对称轴的位置：a、b 同号，抛物线的对称轴(即直线 )或顶点在 y 轴左侧；a、b 异号，抛物线的对称轴(即直线 )或顶点在 y 轴右侧；b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴.a，b 都相同的抛物线是以顶点为
4、动点的且沿对称轴平移而得到的一组抛物线系.(3)c 决定抛物线与 y 轴交点(0，c)的位置：c0，抛物线与 y 轴交于正半轴；c0，抛物线与 y 轴交于负半轴；c=0，抛物线与 y 轴交点是坐标原点. c 相同的抛物线都过点(0，c).这些内容应该能够由数得形、依形判数.典型例题：1已知抛物线 的部分图象(如图)，图象再次与 x 轴相交时的坐标是( ) (A)(5，0) (B)(6，0)(C)(7，0) (D)(8，0)解：C分析：由 ，可知其对称轴为x=4，而图象与 x 轴已交于(1，0)，则与 x 轴的另一交点为(7，0).2函数 y=x2-4 的图象与 y 轴的交点坐标是( )A.(2
5、，0) B.(-2，0) C.(0，4) D.(0，-4)解：D 分析：函数 y= x2-4 的图象与 y 轴的交点的横坐标为 0，x=0 时，y=-4，故选 D.3已知二次函数 的图象如图所示，则 a、b、c 满足( )A.a0，b0，c0 B.a0，b0，c0C.a0，b0，c0 D.a0，b0，c0解：A 分析：由抛物线开口向下可知 a0；与 y 轴交于正半轴可知 c0；抛物线的对称轴在y 轴左侧，可知- 0.则 b0.故选 A.4抛物线 y= 4(x+2)2+5 的对称轴是_.解：x=-2 分析：抛物线 y=a(x-h)2+k 的对称轴为 x=h.5y=ax 2+bx+c(a0)的图象
6、如图所示，则点 M(a，bc)在( ).A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限分析：由图可知：抛物线开口向上 a0.bc0.点 M(a，bc)在第一象限.答案：A.点评：本题主要考查由抛物线图象会确定 a、b、c 的符号.6已知一次函数 y=ax+c，二次函数 y=ax2+bx+c(a0)，它们在同一坐标系中的大致图象是( ).分析：一次函数 y=ax+c，当 a0 时，图象过一、三象限；当 a0 时，图象过二、四象限；c0 时，直线交 y 轴于正半轴；当 c0 时，直线交 y 轴于负半轴；对于二次函数 y=ax2+bx+c(a0)来讲：解：可用排除法，设当 a0 时，二次函数
7、y=ax2+bx+c 的开口向上，而一次函数y=ax+c 应过一、三象限，故排除 C；当 a0 时，用同样方法可排除 A；c 决定直线与 y 轴交点；也在抛物线中决定抛物线与 y 轴交点，本题中 c 相同则两函数图象在 y 轴上有相同的交点，故排除 B.答案：D.二、图象的平移抛物线 y=ax2 抛物线 y=a(x-h)2+k当 h0，k0 时，把抛物线 y=ax2向右平移 h 个单位，再向上平移 k 个单位，得到抛物线 y=a(x-h)2+k；当 h0，k0 时，把抛物线 y=ax2向右平移 h 个单位，再向下平移|k|个单位，得到抛物线 y=a(x-h)2+k；当 h0，k0 时，把抛物线
8、 y=ax2向左平移|h|个单位，再向上平移 k 个单位，得到抛物线 y=a(x-h)2+k；当 h0，k0 时，把抛物线 y=ax2向左平移|h|个单位，再向下平移|k|个单位，得到抛物线 y=a(x-h)2+k.在学习中，不要死记这些结论，在观察中发现，函数图象的平移就是顶点的平移(也可以是其它关键点的平移，这是由于函数图象的平移是整体的平移，每个点都做相同的变换)，还可以引申到直线、双曲线的平移.在解题时，一定分清移动谁，不妨画草图.典型例题下面看几个考查平移的问题1(湖南长沙)把抛物线 y=-2x2向上平移 1 个单位，得到的抛物线是( )A. y=-2(x+1) 2 B. y=-2(
9、x-1) 2 C. y=-2x 2+1 D. y=-2x 2-1提示：这个题很基本，把顶点从原点处移至(0，1)处，选 C.2(山西省)抛物线 经过平移得到 ，平移方法是( )A.向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位B.向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位C.向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位D.向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位提示：此题要注意被移动的是抛物线 =-2(x+1)2-3，即把顶点从(-1，-3)处移至原点处，因此写平移时需注意方向.选 D.3(湖北荆门)把抛物线 y=x +bx+c 的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象
10、的解析式为 y=x2-3x+5，则( ) A.b=3，c=7 B.b=6，c=3 C.b=-9，c=-5 D.b=-9，c=21答案：A提示：此题两种方法：法一：先求出 y=x2-3x+5 的顶点，按平移过程求出原图象顶点，从而求出解析式，确定 b、c 的值；法二：先求出图象与 y 轴交点(0，5)按平移过程得原图象上一点(-3，7)，再求 y=x2-3x+5 上点(3，5)，按平移过程得原图象上一点(0，7)4(资阳市) 在平面直角坐标系中，如果抛物线 y=2x2不动，而把 x 轴、y 轴分别向上、向右平移 2 个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( )A.y=2(x-2) 2+2 B
11、.y=2(x+2) 2-2C.y=2(x-2) 2-2 D.y=2(x+2) 2+2提示：这是移轴的问题，需将它转化为移图象的问题把图象向下、向左平移 2 个单位.可以先画图，总结规律.选 B.三、二次函数的作图典型例题1通过配方，确定抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图.解：因此，抛物线开口向下，对称轴是直线 x=1，顶点坐标为(1，8).由对称性列表：x -2 -1 0 1 2 3 4 -10 0 6 8 6 0 -10 描点、连线，如图所示.回顾与反思：(1)列表时选值，应以对称轴 x=1 为中心，函数值可由对称性得到.(2)描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点.探索：对于二次函数 ，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴_，顶点坐标_.2已知抛物线 的顶点在坐标轴上，求 的值.分析：顶点在坐标轴上有两种可能：(1)顶点在 x 轴上，则顶点的纵坐标等于 0；(2)顶点在 y 轴上，则顶点的横坐标等于 0.解： ，则抛物线的顶点坐标是 .当顶点在 y 轴上时，有 ，解得 .当顶点在 x 轴上时，有 ，解得 或 .所以，当抛物线 的顶点在坐标轴上时， 有三个值，分别是 2，4，-8.
