1、等差数列性质总结1.等差数列的定义式： （ d 为常数） （ ） ；an1 2n2等差数列通项公式：， 首项: ，公差:d，末项:*1()()nadN1ana推广： 从而 ；m) mn3等差中项（1）如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项即： 或aAbAab2baAb（2）等差中项：数列 是等差数列n +-12(2,nN)nn21nn4等差数列的前 n 项和公式：1()nS1()2ad1()adB（其中A、B是常数，所以当d0时，S n 是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数 时， 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间
2、1221nn na项）5等差数列的判定方法 （1） 定义法：若 或 (常数 ) 是等差数列 dan1dn1Nna（2） 等差中项：数列 是等差数列 2(21-an 21na数列 是等差数列 （其中 是常数）。nbknk,（4）数列 是等差数列 ,（其中A、B是常数）。S6等差数列的证明方法 定义法：若 或 (常数 ) 是等差数列dan1dan1Nna等差中项性质法： -22n，7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素： 、 、 、 及 ，其中1dnanS、 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。ad（2）设项
3、技巧：一般可设通项 1()nad奇数个数成等差，可设为， （公差为 ） ；2,2aadd偶数个数成等差，可设为， ,（注意；公差为 2 ）338.等差数列的性质：（1）当公差 时，0d等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且斜率为公差 ；11()nadnand前 和 是关于 的二次函数且常数项为 0.n21()S（2）若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若公差 ，则0d0d0为常数列。（3）当 时,则有 ，特别地，当 时，则有 .mpqqpnmaa2mnp2mnpa注： ，12132nna（4）若 、 为等差数列，则 都为等差数列nb12nnb，(5) 若 是等差数列，则
4、 ，也成等差数列 na232,nnnSS（6）数列 为等差数列,每隔 k(k )项取出一项( )仍为等差数列*N23,mkmkaa（7）设数列 是等差数列，d 为公差， 是奇数项的和， 是偶数项项的和， 是前 n 项n 奇 偶SS的和当项数为偶数 时，212113521nn naSa a奇 246 1偶 11nnnnad偶 奇Sa偶奇当项数为奇数 时，则221(1)(1)1n SSnaSnan 偶n+奇 偶 奇 +奇 偶 偶 奇（其中 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项） an+1（8） 的前 和分别为 、 ，且 ，bnAB()nf则 .21()()nnf（9）等差数列 的前 n 项和 ，
5、前 m 项和 ，则前 m+n 项和amSnSmnS则a,nm0m(10)求 的最值nS法一：因等差数列前 项是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 。*N法二：（1） “首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和n即当 由 可得 达到最大值时的 值， 0da01naS（2） “首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由 可得 达到最小值时的 值，11nnn或求 中正负分界项na注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于 和 的方程；1ad巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少
6、运算量等比数列性质1. 等比数列的定义： ， 称为公比*12,naqnN0且 q2. 通项公式：， 首项： ；公比：11,nnnaqAB 1a推广： ， 从而得 nmnmaq3. 等比中项（1）如果 成等比数列，那么 叫做 与 的等差中项即： 或,aAbAb2Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列 是等比数列n21nna4. 等比数列的前 n 项和 公式：S(1) 当 时， 1q1(2) 当 时，1nnnq（ 为常数）1 naqABA ,B5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的 n,都有 为等比数列 11(0)nn naqqa
7、或 为 常 数 ， n（2） 等比中项： （ 0） 为等比数列2nan（3） 通项公式： 为等比数列ABn（4） 前 n 项和公式： 为等比数列,nnSSABAB或 为 常 数 na6. 等比数列的证明方法依据定义：若 或 为等比数列*12,naqN0且 1naqna7. 注意（1）等比数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素： 、 、 、 及 ，其中 、n1qnaS1a称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。q（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；na如奇数个数成等差，可设为， （公比为 ，中间项用 表示） ；2
8、2,aqq8. 等比数列的性质(1) 当 时1q等比数列通项公式 是关于 n 的带有系数的类指数函数，底数1 0nnnaqAB为公比前 n 项和 ，系数和常数项是互为111 nnnnnnaqaSqABA相反数的类指数函数，底数为公比 q(2) 对任何 m,n ,在等比数列 中,有 ,特别的,当 m=1 时,便得到等比数列的通*Nnnma项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t ),则 .特别的,当 n+m=2k 时,得*st2nmka注： 12132nnnaa(4) 列 , 为等比数列,则数列 , , , (k 为非零常数) 均为
9、等bnkankanbn比数列.(5) 数列 为等比数列,每隔 k(k )项取出一项( )仍为等比数列na*N23,mkmka(6) 如果 是各项均为正数的等比数列,则数列 是等差数列logan(7) 若 为等比数列,则数列 ， ， ，成等比数列n nS2n32,S(8) 若 为等比数列,则数列 , , 成等比数列1a12nn123nna(9) 当 时， 当 时，1q q0, 10naa， 则 为 递 增 数 列， 则 为 递 减 数 列 1naa， 则 为 递 减 数 列， 则 为 递 增 数 列当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; 当 q0 时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列 中, 当项数为 2n (n )时, ,. na*NSq奇偶(11)若 是公比为 q 的等比数列,则nnnmmS
