1、直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程知识点 1：直线与双曲线的位置关系1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线 y=kx+b，双曲线 1 (a0 ，b0)联立消去 y得 Ax2+Bx+C=0（a0），=B 2 x2a2 y2b24AC。若 A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若 0,直线与双曲线相交，有两个交点；若 =0，直线与双曲线相切，有一个交点；若 2 (其中 O2 OA OB 为原点) ，求 k 的取值范围解 (1)设双曲线 C2 的方程为 1，x2a2 y2b2则 a2413，c 24，由 a2b 2c 2，得 b21，故 C2 的方程为 y 21.x23(
2、2)将 ykx 代入 y 21，得(1 3k 2)x26 kx90.2x23 2由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点，得Error! k2 且 k22， 得 x1x2y 1y22，OA OB 2，即 0，解得 0，b0)的离心率为 2.若抛物线x2a2 y2b2C2：x 2 2py (p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为( )Ax 2 y Bx 2 y833 1633Cx 2 8y Dx 216y(2)(2012四川高考)已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点M(2，y 0)若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|( )A
3、2 B22 3C4 D2 5自主解答 (1)双曲线 C1： 1(a0，b0)的离心率为x2a2 y2b22， 2，b a，ca a2 b2a 3双曲线的渐近线方程为 xy0，抛物线 C2：x 22py( p0)的焦点 到双曲3 (0，p2)线的渐近线的距离为 2，p8.所求的抛物线方程为 x216y.| 30p2|2(2)依题意，设抛物线方程是 y22px(p0)，则有 2 3，得 p2，故抛物线方程是p2y24x，点 M 的坐标是(2，2 )，|OM| 2 .2 22 8 3答案 (1)D (2)B练习 2：若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与 y 轴的交点，A 为抛物线
4、上一点,且 3|,17| AF，求此抛物线的方程解析 设点 是点 在准线上的射影，则 3|A，由勾股定理知 2|M，点 A的横坐标为 )23,(p，代入方程 pyx2得 或 4，抛物线的方程 yx4或yx82题型 3：直线与抛物线的位置关系1设抛物线方程为 y22px (p0)，直线 AxByC 0，将直线方程与抛物线方程联立，消去 x 得到关于 y 的方程 my2nyq0.(1)若 m0，当 0 时，直线与抛物线有两个公共点；当 0 时，直线与抛物线只有一个公共点；当 0 时，直线与抛物线没有公共点(2)若 m0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行2与焦点弦有关的常用结
5、论(以右图为依据)(1)y1y2p 2，x 1x2 .p24(2)|AB|x 1x 2p ( 为 AB 的倾斜角)2psin2(3)SAOB ( 为 AB 的倾斜角)p22sin(4) 为定值 .1|AF| 1|BF| 2p(5)以 AB 为直径的圆与准线相切(6)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切(7)CFD90.例 3： (2012福建高考)如图，等边三角形 OAB 的边长为 8 ，3且其三个顶点均在抛物线 E：x 22py (p0)上(1)求抛物线 E 的方程；(2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y1 相交于点 Q.证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定
6、点自主解答 (1)依题意，|OB|8 ，BOy30.3设 B(x，y)，则 x|OB|sin 304 ，y |OB|cos 3012.3因为点 B(4 ，12)在 x22py 上，所以(4 )22p12，解得 p2.3 3故抛物线 E 的方程为 x24y .(2)证明：由(1)知 y x2，y x.14 12设 P(x0，y 0)，则 x00，y 0 x ，且 l 的方程为1420yy 0 x0(xx 0)，即 y x0x x .12 12 1420由Error!得Error!所以 Q 为 .(x20 42x0， 1)设 M(0，y 1)，令 0 对满足 y0 x (x00)的 x0，y 0恒
7、成立P1420由于 (x 0，y 0y 1)， ，Q(x20 42x0， 1 y1)由 0，得 y 0y 0y1y 1y 0，Px20 42 21即(y y12) (1y 1)y00.(*)21由于(*)式对满足 y0 x (x00)的 y0恒成立，1420所以Error!解得 y11.故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1)练习 3：(2012泉州模拟)如图，点 O 为坐标原点，直线 l 经过抛物线 C：y 24x 的焦点 F.(1)若点 O 到直线 l 的距离为 ，求直线 l 的方程；12(2)设点 A 是直线 l 与抛物线 C 在第一象限的交点点 B 是以点 F 为圆心，
8、|FA| 为半径的圆与 x 轴的交点，试判断 AB 与抛物线 C 的位置关系，并给出证明解：(1)抛物线的焦点 F(1,0)，当直线 l 的斜率不存在时，即 x1 不符合题意当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为：yk(x1)，即 kxyk0.所以， ，解得 k .| k|1 k2 12 33故直线 l 的方程为：y (x1)，即 x y10.33 3(2)直线 AB 与抛物线相切，证明如下：设 A(x0，y 0)，则 y 4x 0.20因为|BF| AF|x 01，所以 B(x 0,0)所以直线 AB 的方程为：y (xx 0)，y02x0整理得：x x 02x0yy0把方程代入 y
9、24x 得：y 0y28x 0y4x 0y00，64x 16x 0y 64x 64 x 0，20 20 20 20所以直线 AB 与抛物线相切基础练习： 1(2012济南模拟)抛物线的焦点为椭圆 1 的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛x24 y29物线方程为( )Ax 24 y By 24 x5 5Cx 2 4 y Dy 24 x13 13解析：选 A 由椭圆方程知， a29，b 24，焦点在 y 轴上，下焦点坐标为 (0，c)，其中 c .抛物线焦点坐标为(0， )， 抛物线方程为 x24 y.a2 b2 5 5 52(2012东北三校联考)若抛物线 y22px( p0)上一点 P 到焦点和抛物
10、线的对称轴的距离分别为 10 和 6，则 p 的值为( )A2 B18C2 或 18 D4 或 16解析：选 C 设 P(x0，y 0)，则Error!362p ，即 p220p360，解得 p2 或 18.(10 p2)3(2013大同模拟)已知抛物线 y22px( p0)的准线与曲线 x2y 26x70 相切，则 p 的值为( )A2 B1C. D.12 14解析：选 A 注意到抛物线 y22px 的准线方程是 x ，曲线 x2y 26x70，p2即(x3) 2y 2 16 是圆心为(3,0)，半径为 4 的圆于是依题意有 4.又 p0，因此有|p2 3|34，解得 p2.p24(2012
11、郑州模拟)已知过抛物线 y26x 焦点的弦长为 12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A. 或 B. 或 C. 或 D.6 56 4 34 3 23 2解析：选 B 由焦点弦长公式 |AB| 得 12，2psin2 6sin2所以 sin ，所以 或 .22 4 345(2012唐山模拟)抛物线 y22px 的焦点为 F，点 A、B、C 在此抛物线上，点 A 坐标为(1,2)若点 F 恰为ABC 的重心，则直线 BC 的方程为( )Axy0 Bx y0C2x y10 D2xy10解析：选 C 点 A 在抛物线上， 42p，p2，抛物线方程为 y24x，焦点 F(1,0)设点 B(x1，y 1)，
12、点 C(x2，y 2)，则有 y 4x 1，21y 4x 2，2由得(y 1y 2)(y1y 2)4(x 1x 2)得 kBC .y1 y2x1 x2 4y1 y2又 0，y 1y 22，k BC2.y1 y2 23又 1，x 1x 22，x1 x2 13BC 中点为(1，1)，则 BC 所在直线方程为 y12( x1) ，即 2xy 10.6(2013湖北模拟)已知直线 yk( xm )与抛物线 y22px(p0) 交于 A、B 两点，且OAOB，OD AB 于 D.若动点 D 的坐标满足方程 x2y 24x0，则 m( )A1 B2C3 D4解析：选 D 设点 D(a，b)，则由 ODAB
13、 于 D，得Error!则 b ，abk；km1 k2又动点 D 的坐标满足方程 x2y 24x0，即 a2b 24a 0，将 abk 代入上式，得b2k2b 24bk0，即 bk2b 4k0， 4k0，又 k0，则(1k 2)(4m)k3m1 k2 km1 k20，因此 m4.7(2012安徽模拟)已知椭圆 C1： 1(0b2) 的离心率为 ，抛物线x24 y2b2 32C2：x 2 2py(p0)的焦点是椭圆的顶点(1)求抛物线 C2的方程；(2)过点 M(1,0)的直线 l 与抛物线 C2交于 E，F 两点，过 E，F 作抛物线 C2的切线l1，l 2，当 l1l 2时，求直线 l 的方
14、程解：(1)椭圆 C1 的长半轴长 a2，半焦距 c .由 e 得4 b2ca 4 b22 32b21，椭圆 C1 的上顶点为(0,1)，即抛物线 C2 的焦点为(0,1) ，故抛物线 C2 的方程为 x24y.(2)由已知可得直线 l 的斜率必存在，设直线 l 的方程为 yk(x 1)，E(x 1，y 1)，F(x2，y 2)由 x24y 得 y x2，14y x.12切线 l1，l 2 的斜率分别为 x1， x2.12 12当 l1l 2 时， x1 x21，即 x1x24.12 12由Error!得 x24kx4k 0， (4k) 24( 4k)0，解得 k1 或 k0.且 x1x24k 4，即 k1，满足式，直线 l 的方程为 xy10.
