1、初等数论一、数论发展史 数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布 以及数论函数等内容，统称 初等数论 （ Elementary Number Theory）。 初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的 几何原本 中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的 “ 中国剩余定理 ” 正是我国古代 孙子算经 中的下卷第 26题，我国称之为 “ 孙子定理 ”。 近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、
2、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。 1801年，高斯的 算术探究 是数论的划时代杰作。“ 数学是科学之王，数论是数学之王 ” 。 -高斯由于自 20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等 新分支。而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。 二 几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜
3、想 ；费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。1742年 ,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。 1742年 6月 7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉 ,正式提出了以下的猜想：一个大于 6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。陈景润在 1966年证明了 “ 哥德巴赫猜想 ” 的 “ 一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和 ” 所谓的 1+2 ，是 筛法 的光辉顶点，至今仍是 “ 哥德巴赫猜想 ” 的最好结果。 1、哥德巴赫猜想：2、费尔马大定理： 费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以 “ 业余王
4、子 ” 之美称。在三百七十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理。经过 8年的努力，英国数学家 安德鲁 怀尔斯 终于在 1995年完成了该定理的证明。3、孪生素数问题 存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 也是素数。究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证，但是1849年法国数学 Alphonse de Polignac（ 阿尔方 波利尼亚克 ） 提出猜想：对 于任何偶数 2k, 存在无穷多组以 2k为间隔的素数。对于 k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把 Alphonse de Polignac 作为孪生素数
5、猜想的提出者。不同 的 k 对应的素数对的命名也很有趣，k=1 我们已经知道叫做孪生素数 ； k=2 (即间隔为 4) 的素数对被称为 cousin prime ； 而 k=3 (即间隔为 6) 的素数对竟然被称为 sexy prime (不过别想歪了，之所以称为 sexy prime 其实是因 为 sex 正好是拉丁文中的 6。) 1966年利用筛法 (sieve method) 陈景润证明了： 存在无穷多个素数 p， 使得 p+2 要么是素数， 要么是两个素数的乘积。 一般认为， 由于筛法本身的局限性， 这一结果在筛法范围内很难被超越 2013年， 5月 14日， 自然 （ Nature）杂志在线报道张益唐证明了 “存在无穷多个之差小于 7000万的素数对 ”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破，甚至有人认为其对学界的影响将超过陈景润的 “1+2”证明。
