1、几种常见的放缩法证明不等式的方法一、放缩后转化为等比数列。例 1. 满足：nb21,()3nnbb（1） 用数学归纳法证明：（2） ，求证：1231.3n nTbb12nT解：(1)略(2) 1()()nnn又 b， 132()nn*N迭乘得： 1132nb*1,32nnb411.22nnT点评：把握“ ”这一特征对“ ”进行变形，然后去n ()3nbb掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例 2数列 ， ，其前 项和为na1()nns求证： 2ns解： 211.342nn令 ， 的前 项和为()nb
2、bnT当 时，211()(2)4n2 1.()30564nsT n71204n点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。例 3.已知函数 的图象在 处的切线方程为()(0)bfxac(1,)f1yx（1）用 表示出 ,bc（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围()lnfx1)a（3）证明： .ln(1)232()解：（1） （2）略（3）由（II）知：当 )(l)(,xfa有时令 .1ln(21),xfa有且当 .x时令 ),1()(21ln,
3、kkkk有即 .,3,)1(2)1l( n将上述 n 个不等式依次相加得 ,)1(2)3()l( n整理得 .)()l(121点评：本题是 2010 湖北高考理科第 21 题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。三、放缩后迭乘例 4 .*11,(412)(6nnnaaN（1） 求 23（2） 令 ，求数列 的通项公式124nnbanb（3） 已知 ，求证：()63f1(1)2(3).2ffn解：（1） （2）略由（2）得 1()42nna31() 4nnf12111)( 44n nn n 1()4nf2144()2.().2nnffn点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求 项和时用迭加，求 项乘时用迭乘。n
