第三节 正交变换法化二次型为标准形正交变换：标准正交基到标准正交基的坐标变换(可逆的线性变换)X=CY，其中C是正交矩阵.用正交变换X=CY化二次型为标准形的问题，等价于求正交矩阵C,使得：此式表明，当C为正交矩阵时，由上式所得的对角矩阵既与A合同，又与A相似，且对角线元素全是A的全部特征值。由第五章矩阵可以相似对角化的条件，只要说明矩阵A的特征值都是实数，且一定有n个特征向量组成的标准正交组,则问题就可以得到完全解决.定理1 n阶对称矩阵的特征值必为实数.定理定理1 1的意义的意义证明：于是有于是有两式相减，得两式相减，得由定理1和定理2可得:n阶对称矩阵A一定有n个线性无关的实特征向量，从而它必相似于对角矩阵.现须说明，一定存有A的n个特征向量组成的标准正交组，为简化计算，先看下面的定理：于是于是由定理3，结合矩阵相似对角化的理论，可得以下定理4：对角线元素是矩阵A的全部特征值.二次项系数是矩阵A的全部特征值.利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为：注：注：(1
