1、柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为 Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中， 1212,nabcd令 ， 得 二 维 形 式22dccba等号成立条件： b/扩展： 222
2、2221313123nn nababab等号成立条件： 12 00:,iiinba 当 或 时 ， 和 都 等 于 ，不 考 虑二维形式的证明：2222 222,0=acdacRbbdbcccadbc等 号 在 且 仅 在即 时 成 立三角形式 2222abdacbd等 号 成 立 条 件 ：三角形式的证明：2211nnkkaba22 222222 22 222-abcdabcdabcdacbdacdacbd 注 ： 表 示 绝 对 值两 边 开 根 号 ， 得向量形式 123123=,2=nnabNR，等 号 成 立 条 件 ： 为 零 向 量 ， 或向量形式的证明： 12312332222
3、21313222221231313,cos,cos,nnnnnn nnmanbabmabababb 令一般形式 2112nknk2:niabab等 号 成 立 条 件 ： ， 或 、 均 为 零 。一般形式的证明： 112nknka证明： 2222=/ijjiijjibanban 不 等 式 左 边 共 项不 等 式 右 边共 项用 均 值 不 等 式 容 易 证 明 ，不 等 式 左 边 不 等 式 右 边 ， 得 证 。推广形式(卡尔松不等式)：卡尔松不等式表述为：在 m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素之积的几何平均之和。121212113111,mnnmmnmmiii
4、 inxxxxN 其 中 ，或者： 111,mmnnmij ijij ijxxNR其 中 ， ，或者1211nnnxyxyxyxy 注 ： 表 示 ， ， ， 的 乘 积 ， 其 余 同 理推广形式的证明：推广形式证法一： 1122112 1122112 1122112,+nnn nnn nnnAxyAxyAxyyy yAyAAxA 记由 平 均 不 等 式 得同 理 可 得上 述 个 不 等 式 叠 加 ， 得121112211+nnnnnnnnyAxyxy 即即 ， 证 毕或者推广形式证法二：事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证，这个不等式并不难，可以简单证明如下： 1122111
5、1 111mmj jnnjjjii immj jnnjjjii immjnjnjjji jii imnjknkjjiimjknjiijxxxxxxxx 由 均 值 不 等 式同 理 有以 上 各 式 相 加 得上 式 也 即1111,nkmmnnmjkjik ijx该 式 整 理 ， 得 ：得 卡 尔 松 不 等 式 ， 证 毕付：柯西（Cauchy）不等式相关证明方法： 221nbaba 221221 nnbba niRai2,1等号当且仅当 或 时成立（k 为常数， ）现将它的01 ii ,证明介绍如下：证明 1：构造二次函数 2221)( nbxabxaxf =22 2121n naax
6、b 120n恒成立0fx2221211440nnnababab 即 22nn 当且仅当 即 时等号成立01,iiaxbn 12nbb证明（2）数学归纳法（1）当 时 左式= 右式=n21a21a显然 左式=右式当 时， 右式 2 2222 21111babab右式 1122ababa仅当即 即 时等号成立21212故 时 不等式成立 ,n（2）假设 时，不等式成立k,即 2221211kkkababab 当 ，k 为常数， 或 时等号成立ii,in 20ka设 221kA 212Cabab则 221111kkkkabA22C22121 1k kaa 1kkbb当 ，k 为常数， 或 时等号成立
7、ii,2in 20kaa即 时不等式成立1n综合（1） （2）可知不等式成立二、柯西不等式的应用1、巧拆常数证不等式例 1：设 a、b、c 为正数且互不相等。求证： 22abcabc. 均为正数 、 、为证结论正确，只需证： 1129=abcbcac为 证 结 论 正 确 ， 只 需 证 :而又 29()只 需 证 :211119abcbcabca又 互不相等，所以不能取等abc、 、原不等式成立，证毕。2、求某些特殊函数最值例 2： 3549yxx求 函 数 的 最 大 值 。函数的定义域为5，9, 03245295*10=36.4yxxxx函 数 仅 在 ， 即 时 取 到3、用柯西不等式
8、推导点到直线的距离公式。已知点 及直线 0,y:l0yCA20A设点 p 是直线 上的任意一点， 则l（1）xCA（2）22120101xy点 两点间的距离 就是点 到直线 的距离，求（2）式有最小值，有p2pl201010101xyxyA0yCA由（1） （2）得：即120pxyCA（3）0122当且仅当 0101:yxA（3）式取等号 即点到直线的距离公式12pl即 0122xyCA4、 证明不等式例 3 已知正数 满足 证明 ,abc1c2233abcabc证明：利用柯西不等式23131222cc333222abab33c1c又因为 在此不等式两边同乘以 2，再加上22abab得：22a
9、bc23cc故2233abcabc5、 解三角形的相关问题例 4 设 是 内的一点， 是 到三边 的距离， 是 外接圆pABC,xyzp,abcRABC的半径，证明 221xyzR证明：由柯西不等式得，11xyzaxbycz1axbyczabcA记 为 的面积，则SABC242cabczR1abaxy bcaR221bcR故不等式成立。6、 求最值例 5 已知实数 满足 ， 试求 的最值,abcd3abcd22365abcda解：由柯西不等式得，有22213636即 222bcdbc由条件可得， 5a解得， 当且仅当 时等号成立，1236121cd代入 时， ,36bcdmax时 1in7、利
10、用柯西不等式解方程例 6 在实数集内解方程229483xyz解：由柯西不等式，得22222864864xyzxy2943139又 286xy22222864864xyzxyz即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 8624z它与 联立，可得39xy13618z8、用柯西不等式解释样本线性相关系数在线性回归中，有样本相关系数 ，并指出 且 越接近1221()niiiniiiixyr=1r于 1，相关程度越大， 越接近于 0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线r性相关系数。现记 ， ，则，iiaxiiby，由柯西不等式有，12niiiabr=1r当 时，1r2211n
11、niiii ab此时， ， 为常数。点 均在直线iiybkx,ixyni2,1上，kr当 时，1r2211nniiiiabb即 22110nniiii而 222111nniiiijjii ijnabbab210ijjiijnab0ijjiab为常数。,ik此时，此时， ， 为常数iiybkxa点 均在直线 附近，所以 越接近于 1，相关程度越大,i xr当 时， 不具备上述特征，从而，找不到合适的常数 ，使得点0r,ib k都在直线 附近。所以， 越接近于 0，则相关程度越小。,ixyykxr9、关于不等式 的几何背景 222)()(bdacca几何背景：如图，在三角形 中， ，OPQQOP,(,则 Q（c，d）,22cbOPO .)()(dcaQP（a，b）将以上三式代入余弦定理 ，并化简，可得 cos222 OPQOP或22cosdcba .)(os222dbac因为 ，所以， ，101)(22cd于是.222)()(baba柯西不等式的相关内容简介（1） 赫尔德(Holder)不等式)1()()( 21212 qpbababaa nqnqpnp 当 时，即为柯西不等式。因此，赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形q式，在分析学中有着较为广泛的应用。（2） 平面三角不等式（柯西不等式的等价形式）
