1、数论与或然数学的发展 7.1数论7.1.1素数分布费马数 Fn = +1, n = 0,1,2,n = 0， 1， 2， 3， 4时， Fn是素数。人们进而希望解决的问题是：是否存在着无限多个费马素数。这也是一个至今未解决的难题梅森数 Mp = 2p 1,其中 p为素数已知道的梅森素数共 34个，其中从 p =521开始的素数 Mp是1952年以后用计算机陆续发现的检验梅森数是否为素数的方法称为卢卡斯 莱默检验 ,例如 , 用卢卡斯 莱默检验判断 M5是否为素数，因 M5=251=31,于是可作下述计算：U（ 0） =4，U（ 1） =（ 42 2）（ mod31） =14(mod31)=14
2、,U(2)=(142 2)(mod31)=194(mod31)=8,U(3)=(82 2)(mod31)=62(mod31)=0由于 U（ 3） = 0， M5必为素数。利用因数表研究素数拉恩于 (1659年 )发表了 2.4万以内的因数表；佩尔 (1668年 )扩大至 10万；费尔克尔 (1776年 )给出了 40.8万以内的一切数的因数表 ,19世纪不少学者算出了 1000万以内的所有数的因数表 ,其中布拉格大学的库利克为此花费了 20年的业余时间素数定理若用 （ n）表示不超过 n的素数的个数。当 n+ 时 ,= +。人们可以发现：顺着自然数的序列，越往后素数的 “ 密度 ” （ n）
3、/ n就变得越小7.1.2 陈氏定理 数学皇冠上的明珠哥德巴赫猜想 (1742年 )每个偶数都是两个素数之和；每个奇数都是三个素数之和哥德巴赫猜想的研究进展数学家哈代和李特尔伍德 (英国 ,1923年 )在广义黎曼猜想正确的前提下，有条件地证明了每个充分大的奇数都是三个奇素数之和以及几乎所有偶数都是两个奇素数之和。维诺格拉多夫 (1937年 ),无条件地证明了奇数哥德巴赫猜想，即每个充分大的奇数都是三个奇素数之和布朗 (挪威 1919年 )证明了：每个大偶数都是两个素因子个数均不超过 9的整数之和（记为 9 + 9，记号 k + l表示大偶数分解为不超过 k个奇素数的积与不超过 l个奇素数的积
4、之和，下同）布赫夕塔布的 4 + 4（ 1940）、瑞尼的 l+c (c为一不确定大数)（ 1948）和库恩的 a+b (a+b6)(1954);王元的 2+3（ 1957）和潘承洞的 1+5（ 1962），到 1965年，欧洲数学家邦别里等三人差不多同时证明了 1 + 3； 1966年，中国数学家陈景润宣布证明了 1+2（ 1973年发表详细证明）陈景润（ 19331996）简介图 7.1华罗庚（右）与陈景润（左）7.1.3费马最后定理费马猜想：对每个正整数 n3 ，方程 xn + yn = zn均没有正整数解（ x, y, z）。费马本人利用无限下降法证明了 n=4时，费马猜想成立。1825年年仅 20岁的德国数学家狄利克雷和年过七旬的法国数学家勒让德各自独立地证明了 n = 5的情形， 1839年法国数学家拉梅证明了 n = 7的情形。欧拉的整数分解的 ”定理 ”：由 a + b形式的数所形成的数系（记为 ,a,b为任意整数）中，有唯一因子分解定理成立，即每一个整数都可唯一地分解为这个数系中数的乘积。后来才知道，对形如的数系，唯一因子分解定理并不总是成立的，例如在数系中， 6 = 32 = （1+）（ 1），就有两种分解方式。事实上，能保证唯一因子分解定理成立的数系只有 9种
