1、数学史选讲鲁东大学数学与信息学院范永顺2008年 7月 17日一、圆周率的计算1、刘徽的成就 隋书 “律历志 ”中提到 “魏陈留王景元四年刘徽注九章 ”，由此知道刘徽是公元 3世纪魏晋时人，并于公元 263年撰 九章算术注 。 九章算术注 包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位。 刘徽数学成就中最突出的是 “割圆术 ”和体积理论 。刘徽在 九章算术 方田章 “圆田术 ”注中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础。割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的面积和
2、周长。他指出： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。 ”刘徽从圆内接正六边形出发，并取半径为 1尺，一直计算到 192边形，得出了圆周率的精确到小数点后二位的近似值 ，化成分数为 ，这就是有名的 “徽率 ”。 2 祖冲之关于圆周率的贡献祖冲之（公元 429-500，如图）活跃于南朝宋、齐两代，出生于历法世家，本人做过南徐州（今镇江）从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。祖冲之在公元 462年创制了一部历法 大明历 ，这在当时是最先进的历法 .祖冲之关于圆周率的贡献记载在 隋书 中， 隋书 律历志 说：“祖冲之更开密法
3、，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间 ”。 也就是说，祖冲之算出了圆周率数值的上下限：. 隋书 律历志 还记载了祖冲之在圆周率计算方面的另一项重要结果： “密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五；约率：圆径七，周二十二 ”。 这就是说祖冲之还确定了圆周率的分数形式的近似值：约率 ；密率 。 在现代数论中，如果将圆周率 表示成连分数，其渐近分数是：第 4项正是密率，它是分子、分母不超过 1000的分数中最接近 真值的分数。 “密率 ”也称 “祖率 ”。 3 阿尔 卡西求圆周率阿尔 卡西 (?1429) 求圆周率=3.
4、1415926535897932。精确到小数点后16位计算圆面积、周长，实际上都在计算 圆周率。计算圆面积、周长都利用了递推关系。二 球体积1 刘徽的成就刘徽首先证明了 九章算术 中的球体积公式是不正确的，并在 九章算术 “开立圆术 ”注文中指出了一条推算球体积公式的正确途径。刘徽创造了一个新的立体图形，他称之为 “牟合方盖 ”，并指出：一旦算出牟合方盖的体积，球体积公式也就唾手可得。在一立方体内作两个互相垂直的内切圆柱。这两个圆柱体相交的部分，就是刘徽所说的 “牟合方盖 ”。牟合方盖恰好把立方体的内切球包含在内并且同它相切。如果用同一个水平面去截它们，就得到一个圆（球的截面），和它的外切正方形（牟合方盖的截面）。刘徽指出，在每一高度上的水平截面圆与其外切正方形的面积之比都等于 ，因此球体积与牟合方盖体积之比也应该等于 。 刘徽在这里实际已用到了西方微积分史著作中所说的 “卡瓦列利原理 ”，可惜没有将它总结为一般形式。牟合方盖的体积怎么求呢？刘徽终于未能解决。 最后他说： “ 敢不阙疑，以俟 (si)能言者!” 刘徽虽然没有推证出球体积公式， 但他所创用的特殊形式的不可分量方法，成为后来祖冲之父子在球体积问题上取得突破的先导。 刘徽 九章算术注 还有其他许多数学成果，特别是他在 九章算术 “勾股 ”章之后所加的一整篇文字，作为 九章算术注 第十卷，后来单独刊行，称为 海岛算经 。
