1、牛顿、莱布尼兹发明微积分一、孕育时期一些数学家的思想方法w 1德莫克利特 (Democritus， 约公元前460 公元前 357)的数学原子论思想w 2欧多克斯 (Eudoxus， 公元前 409 公元前 356)、刘徽、祖暅 (约公元五世纪 )等人的极限论思想 w 3 阿基米德的积分思想二、 创 立 时 期一些数学家的思想方法w 开普勒的思想w 伽利略的运动数学理论w 卡瓦列里不可分量w 费尔玛的贡献w 巴罗的特征三角形）w 英国数学家巴罗 (L Barrow， 1630 1677)是牛顿的老师，他提出用微分三角形来求切线，其基本思想和费尔玛差不多，也是先将 x扩充为 x+x ， 然后代入
2、函数，最后再略去 x开普勒的贡献w 1615年发表的测定酒桶体积的新方法 (Nova Stereometria doliorum vinariorum)一书中据说他对求积问题的兴趣，起源于对啤酒商的酒桶体积的怀疑他在该书中讨论了许多旋转体的体积，其基本思想是化曲为直，即把曲线形看作边数无限多的直线形 例如，他把圆看作边数为无限的多边形，因此圆面积等于无穷多个等腰三角形面积之和，这些三角形的顶点在圆心，底在圆上，而高为半径 r 显然，圆面积等于圆周长与半径的乘积之半他对球体积公式的推导就是在此基础上发展而来的， 用 无穷多个同维的无限小元素之和来确定曲边形面积和体积，这是开普勒求积术的核心，是他
3、对积分学的最大贡献 卡瓦列里不可分量w 系统运用无限小元素来计算面积和体积w 创新： 第一，他不再把几何图形看作同维无穷小元素所组成，而是看作由维数较低的无穷小元素所组成，并把这些无穷小元素称为 “ 不可分量 ” 例如，体积的不可分量是无数个平行的平面第二，他建立起两个给定几何图形的不可分量之间的一一对应关系，若每对量的比都等于同一个常数，则他断定两个图形的面积或体积也具有同样比例 w 如图 11 3， 设 DHC是以 O为圆心的半圆， ABCD是它的外切矩形以 OH为旋转轴，则正方形 OHBC画出圆柱，三角形 OHB画出圆锥，而弧 HC画出半球面用平行于底面的任意平面去截这些图形，则产生以
4、G为圆心的半径分别为 RG、 FG和 EG的圆，它们分别为圆柱、圆锥和半球的不可分量，这些不可分量存在如下关系：w OE2=GO2 EG2w 即 RG2 FG2+EG2w 所以 RG 2 FG 2 EG 2w 由于截面的任意性，所以圆柱体积等于半球与圆锥体积之和，设球半径为 r， 则w 1629年，他在求最大值和最小值的方法一文中，用一个例子说明他的方法问题是： 已知一条线段，要求出其上的一点，使被该点分成的直线段的两部分，所构成的矩形面积最大w 他设线段长为 B， 一部分为 A， 则另一部分为 B-A， 矩形面积为 AB-A2， 然后用 A E代 A， 另一部分为 B-A-E，矩形面积遂成
5、(A E)(B-A-E) 费尔玛认为，当 A的长度恰为最大值时，这两个值应相等 (运用了几何观察 )w (A E)(B-A-E)=AB-A2w 这可整理为 BE-2AE-E2=0， 约去 E， 得 B=2A E， 略去 E， 得 B=2A， 这就是说，正方形将获得最大面积这一想法，与微分学的想法非常接近，相当于牛顿的主要思想 ：w 艾萨克 牛顿 (Isaac Newton， 1642 1727)， 1642年圣诞节生于英格兰乌尔斯托帕的一个农民家庭对他的早年和学生时代的生活，史托克校长说： “ 在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失 ”w 1661年夏天入剑桥大学三一学院
6、， 1665年初获文学学士学位期间，他攻读了欧几里得的几何原本及笛卡儿、开普勒等人的数学和物理著作他的才智开始显露，并被他的老师巴罗所赏识 1669年巴罗辞去他的教授职位，举荐牛顿作为他的继承人，并坦然宣称牛顿的学识已经超过自己，一时被传为佳话现在剑桥大学的三一学院牛顿雕像之北，也立有巴罗的雕像此后，牛顿就在剑桥大学任教，直到 1696年去担任伦敦造币厂总监w 牛顿一生的重要转折点是 1665年 ，当时伦敦流行鼠疫，波及剑桥牛顿被迫回到家乡在那里他终日思考各种问题，运用数年来获得的前人知识和自己的智慧，奠定了为之奋斗一生的三大成就 (微积分、光的性质和万有引力 )的基础w “ 当年我正值发明创造能力最强的年华，比以后任何时期更专心致志于数学和哲学 ” 他意识到了引力的平方反比定律，获得了解决微积分问题的一般方法，通过光学实验作出了划时代的发现，即白光是由各种颜色的光混合而成的
