1、 2003 Science College Chap.数学史与数学教育 - 1数学史与数学教育 第二章 数论与方程 本章以方程为主线，来讨论数学历史上的第二次抽象 符号数学的发展历史，内容涉及初等数论和初等代数的相关问题。其中所要关注的焦点有两个，一是当人们初步完成由具体事物向数字抽象 (数的第一次抽象 )之后，势必会对数的本身的性质产生兴趣，这就是有关数论的问题；另一个焦点是数的进一步符号化 (数的第二次抽象 )，即以字母表示数，从而导致代数学的产生和发展。 2003 Science College Chap.数学史与数学教育 - 2数论与方程 2.1数的性质 2.2数论的发展历史 2.3方
2、程的历史 2.4方程的发展 2003 Science College Chap.数学史与数学教育 - 32.1数的性质 一 .数的崇拜与禁忌 远古时代人们往往把认识到的数与环境、自然现象以及生活劳动进行联系，以此用来表达自已的喜好和厌恶。由于无法认识和解释自然界的种种奇特现象，因而产生强烈的神秘感，转而演化成对数的崇拜。如 毕达哥拉斯 学派就对数表现出一种非同一般的崇拜。他们把自已的哲学原理、理论基础乃至精神支柱都集于一个如此简单而渺小的 “数 ”的身上，这在整个哲学史上也是独一无二的。又如中国古代对 “九 ”宠爱有加。再如古巴比伦对六十崇拜也有突出的表现。 2003 Science Coll
3、ege Chap.数学史与数学教育 - 42.1数的性质二 .数与文化 中国古代把数分为两类，一类为阳数 (后来称之为奇数 )象征白 (色 )、昼 (白大 )、热、日、火，同样毕达哥拉斯学派认为奇数不可分，因而是阳性的、属天的；另一类为阴数 (后来称之为偶数 )则象征着黑 (色 )、夜、冷、月、水，毕达哥拉斯学派也认为偶数是可以分解的，因而是阴性的、属地的。 2003 Science College Chap.数学史与数学教育 - 52.1数的性质三 .亲合数与完全数 一个数的真因子的和是另一个数，而另一个数的真因子的和恰好又等于这个数 ,具有这样性质的一对数称为亲和数 (也称相亲数 )。如果
4、要问 毕达哥拉斯 学派的信徒谁是他的朋友，他将毫不迟疑地问答说： “就象 220和 284一样。 ”从 毕达哥拉斯 给出亲和数 220,284之后， 费尔马 (P.Fermat， 法国， 1601 1665)于 1637年才发现了另一对亲和数，即 17926和 18416。事隔两年， 笛卡尔 给出了第三对亲和数： 9,363,584和 9,437,056。如果一个数等于其真因子的和，则称之为完全数。如，6=(1+2+3)， 28， 496，以及 8128。 2003 Science College Chap.数学史与数学教育 - 62.1数的性质问题 2.11.人们对一个数的因数的研究时，发现
5、具有特殊性质的数主要是什么数？它们各具有什么性质？2.数学是人类文化的表现形式之一，在数学教学中你将如何体现数学的文化内涵？ 2003 Science College Chap.数学史与数学教育 - 72.2 数论的发展历史 按照上述的有关内容的介绍可以看出，对数的崇拜和好奇是促使人们去研究数的原始推动力，这样一部以整数的结构和性质为研究对象的学科也就涎生了，它就是数论。人们大致赞同数论的研究在内容上是从数的可约性开始的。如果 “可约 ”则它是一个整除性问题，如果“不可约 ”则为余数问题。因而整除性理论被称作是数论中最古老的内容。 2003 Science College Chap.数学史与数
6、学教育 - 82.2 数论的发展历史 一 .整除理论对整除理论作出杰出贡献的是古典时期的希腊人。 Euclid在他的几何原本中给出了最古老的算术基本定理：任一合数都为某质数量尽。备受人们推祟的是他对命题； “素数的个数是无穷的 ”(质数的数目比任何指定的数目都要多 )的证明。而四百年后的 尼可马修斯 (Nichomachus， 希腊，约公元 100年 )所写的算术入门却成为了数学历史上第一部数论典籍。书中介绍了如何寻找不大于给定的自然数 N的所有质数的办法即著名的 爱拉多塞 (埃拉托色尼 ， Eratesthenes， 希腊，公元前230年 )“筛法 ”。 2003 Science Colle
7、ge Chap.数学史与数学教育 - 92.2 数论的发展历史 二 .中国剩余定理中国剩余定理也称 “孙子定理 ”,起源于孙子算经 (约公元 400午)中的个著名的问题 (卷下第 26题 )：“今有物个知其数，三三数之剩二：，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何 ?”这个问题涉及到的即为同余理论，它是由我国最早研究并取得辉煌的理论成就的数论课题。秦九韶 在数书九章第 章 “大衍术 ”中给出了如何求一次同余式组的方法，而他所构造的同余式的右边均为一，所以他的这一方法被称为 “大衍求一术 ”。 2003 Science College Chap.数学史与数学教育 - 102.2 数论的发展历史 但是 “大衍求 术 ”后来竟失传达五百年之久，迟至清朝由 黄宗宪(?)等人，经过艰苦努力终于被重新挖掘出来。中国剩余定理从发现 (孙子问题 )到理论形成 (求 术 )经失传而后重新挖掘，虽然历时 千多年的时间，但在世界上 直处于领先地位，迟至 1801年 高斯 (K P Gauss,德， 1777 1855)的算术研究才作出了与 秦九韶 相同的结果。
