1、第 4 章谓 词 逻 辑4-1 谓词的概念与表示4-2 命题函数与量词4-3 谓词公式与翻译 4-4 变元的约束第 4章 谓词演算4-5 谓词演算的等价式与蕴涵式 4-6 前束范式 4-7 谓词演算的演绎与推理理论 4-1 谓词的概念与表示命题逻辑是一完整的语句为单位的，谓词逻辑将语句细分为 “对象 ” 和 “谓词 ”。对象一般是语句的主语，谓词一般是语句的谓语。谓词演算中把一切讨论对象都称为 个体个体 ， 它们可以是客观世界中的具体客体，也可以是抽象的客体，诸如数字、符号等。确定的个体常用 a， b， c等到小写字母或字母串表示。 a， b， c等称为 常元常元 （ constants）。
2、不确定的个体常用字母 x， y， z， u， v， w等来表示。它们被称为 变元变元 （ variables）。谓词演算中把讨论对象 个体的全体称为个体域个体域 （ domain of individuals） ， 常用字母 D表示，并约定任何 D都至少含有一个成员 。 当讨论对象遍及一切客体时，个体域特称为全总域全总域 （ universe）， 用字母 U表示。用来指明对象的性质或对象间关系的语句成分称为 谓词谓词 （ ）， 用大写字母表示谓词，用小写字母表示变元，变元之间用 “， ”分割。通常把谓词所携空位的数目称为谓词的 元数元数 。 表示单个客体性质的谓词是一元谓词，例如 P（ x）
3、;表示两个客体之间关系的谓词是二元谓词，例如 Q（ x,y） ;依此类推。 含空位的写法有一个明显的缺点，可读性差。因此常用变元来代替空位，它们被称为 谓词命名式谓词命名式 ，简称 谓词谓词 。 谓词命名式不是命题。谓词命名式不是命题。当谓词的空位上填入个体后，便产生一个关于该个体的语句，这时它被称为 谓词填式谓词填式 。 谓词填式是谓词填式是命题。命题。 4-2 命题函数与量词命题与谓词的关系：命题与谓词的关系： 当当 谓词谓词 中的客体变元被具体客中的客体变元被具体客体常元确定下来（代入或赋值）以后，才成为体常元确定下来（代入或赋值）以后，才成为 命题，命题， 从而从而才有确定的真假值。才
4、有确定的真假值。定义定义 4-2.1 当有一个当有一个 谓词谓词 ，一些，一些 客体变元客体变元 组成的组成的表达式表达式 称谓称谓 简单命题函数。简单命题函数。据此定义，据此定义， n元谓词就是元谓词就是 n个个 客体变元客体变元 的的 命题函数命题函数。 当当 n=0时，时， 称为称为 0元谓词，它本身就是一个元谓词，它本身就是一个 命题。命题。 故故命题就是命题就是 n元谓词元谓词 的特殊情况。的特殊情况。由一个或由一个或 n个个 简单命题函数简单命题函数 ，以及，以及 逻辑联结词逻辑联结词 组合组合而成的而成的 表达式表达式 称谓称谓 复合命题函数。复合命题函数。量词量词 （ quan
5、tifiers）全称量词全称量词 ： 指数量词 “对所有的 ”、 “每一个 ”、 “对任意一个 ”等。例如： xA(x), yP(y)存在量词存在量词 ： 指数量词 “存在一些 ”、 “至少有一个 ”、 “对于一些 ”等 。 例如： xA(x)、 yP(y)由量词确定的表达式都与个体域有关，因此，在讨论带有量词的命题函数时，必须确定其个体域。在全总个体域中，对全称量词 xH(x)可以写成x（ M(x) H(x)）； 对存在量词 xH(x)可以写成x（ M(x) H(x)） , M(x)为特性谓词。我们把 A(x1,x2, xn) 称为谓词演算的原子公式，其中 x1,x2, xn是客体变元，原子
6、公式包括下述形式：Q， A(x), A(x,y), A(f(x),y), A(x,y,z), A(a,y)等。定义 4-3.1 以下条款规定的符号串称为 谓词公式谓词公式 ( predicate forrmula)， 又称 合式公式合式公式 (Wff ):（ 1） 谓词填式是公式，命题常元是公式（看作零元谓词） ,原子谓词公式是合式公式。 （ 2） 如果 A合式公式，那么 (A) 是合式公式。（ 3） 如果 A， B是合式公式， x为任一变元， 那么 (xA)， (x A)， (A B)， (A B)， (A B)， (AB)）都是合式公式。（ 4） 只有有限步使用（ 1）、（ 2）、 （ 3
7、） 条款所形成的符号串是合式公式。 4-3 谓词公式与翻译在谓词公式中， 、 后面所跟的 x叫做量词的 指导变元 或 作用变元 ， xA(x), xP(x)中的 A(x)和P(x)分别叫做量词 和 的 作用域 或 辖域 。即 当量词用于一谓词或复合谓词表达式时，该谓词或复合谓词表达式称为 量词的辖域量词的辖域 (domains of quantifiers)。在作用域中 x的一切出现称为约束出现，即不可以取值代入的变元称为 约束变元约束变元 ( binding variables)。 除去约束变元以外所出现的变元称为自由变元 ， 即可取值代入的变元称为 自由变元自由变元 (free variables)。4-4 变元的约束由前所述， P(x1,x2, xn) 称为 n元谓词 。他有 n个相互独立的客体变元 x1,x2, xn， 若对其中的个 k个变元进行约束，则 P(x1,x2, xn) 称变成 n-k元谓词 。因此，谓词公式中如果没有自由变元出现，则该式就成为一个命题。为了避免由于变元的约束与自由同时出现，引起概念上的混乱，故可以对约束变元进行更名。使得一个变元在一个公式中具有一种形式出现，即呈自由出现或约束出现。
