1、第一 章 函数、极限与连续 内容概要 名称 主要内容 （ 1.1、 1.2） 函 数 邻 域 axxaU ,（即 ,U a x a x a ） 0 ,0U a x x a （ 0 , , 0U a x a x a x ） 函 数 两个要 素 ：对应法则 f 以及函数的定义域 D 由此，两函数相等 两要素相同；（与自变量用何字母表示无关） 解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数； 特 性 局部 有界 性 对集合 DX ，若存在正数 M ，使对所有 Xx ，恒有 Mxf ，称 函数 xf 在 X 上有界，或 xf 是 X 上的有界函数；反之无界，即任意正数 M （无论 M 多大），总存在（
2、能找到） Xx0 ，使得 Mxf 0 局 部 单 调 性 区间 DI ，对区间上任意两点 21 xx ，当 21 xx 时，恒有 ： 21 xfxf ，称函数在区间 I 上是单调增加函数； 反之，若 21 xfxf ，则称函数在区间 I 上是单调减小函数； 奇偶性 设函数 xf 的定义域 D 关于原点对称；若 Dx ，恒有 xfxf ， 则称 xf 是偶函数；若 Dx ，恒有 xfxf ，则称 xf 是奇 函数； 周期性 若存在非零常数 T ，使得对 Dx ，有 DTx ，且 xfTxf ，则称 xf 是周期函数； 初等 函数 几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数
3、； 反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数 课后习题全解 习题 1-1 1 求下列函数的定义域： 知识点 ： 自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量 x的取值的集合； 思路 ： 常见的 表达式 有 alog ,（ 0 ） /N , （ 0 ） ( 0) arcsin （ 1,1 ） 等 解 ： （ 1） 1,00,111 001 011 22 xxxxxxxy； （ 2） 3112 112 1a r c s in xxxy ； （ 3） 3,00,030 031a r c t a n3 xxxx xxxy； （ 4） 3,11,1,1 310301lg 3 xxorxxxxxyx
4、； （ 5） 4,22,11601110)16(l o g221 xxxxxy x ； 2 下列各题中，函数是否相同？为什么？ （ 1） 2lg)( xxf 与 xxg lg2)( ；（ 2） 12 xy 与 12 yx 知识点 ： 函数相等的条件； 思路 ： 函数的两个要素是 f （作用 法则） 及定义域 D（作用范围） ， 当两个函数作用法则 f 相同（化简 后 代 数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同； 解 ： （ 1） 2lg)( xxf 的 定义域 D= Rxxx ,0 ， xxg lg)( 的 定义域 ,0 RxxxD ， 虽然作用法则相同 xx lg2lg 2 ，但显然两者定
5、义域不同，故不是同一函数； （ 2） 12 xy ，以 x 为自变量，显然定义域为实数 R ； 12 yx ，以 x 为自变量，显然定义域也为实数 R ；两者作用法则相 同“ 2 1 ” 与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数； 3 设3,03,s in)(xxxx ，求 )2()4()4()6( ， ，并做出函数 )(xy 的图形 知识点 ： 分段函数； 思路 ： 注意自变量的不同范围； 解 ：216sin)6( ，224s in4 ，224s in4 02 ； 如图： 4 试证下列各函数在指定区间内的单调性 ： （ 1） 1,1 xxy （ 2） xxy ln2 ， ,0 知识点 ：
6、单调性定义 。 单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查定义域的 某个子区间上函数的单调性的问题 。 思路 ： 利用单调性的定义即可 。 解 ： （ 1）设 1x ， 2x 1, ，当 21 xx 时， 01111 21 21221121 xx xxxxxxyy ， 由单调性的定义知 是 单调增 函数 ； （ 2）设 1x ， 2x ,0 ， 21 xx ， 2121221121 ln)()ln()ln( xxxxxxxxyy 由 1x ， 2x ,0 ， 21 xx ，知 121xx ，故 0ln21 xx （对数函数的性质），则有 021 yy ， 得结论 是 单调增
7、函数 ； 5 设 )(xf 为定义在 ll, 内的奇函数，若 )(xf 在 l,0 内单调增加 ，证明： )(xf 在 0,l 内也单调增加 知识点 ： 单调性和奇偶性的定义 。 思路 ： 从单调增加的定义出发 ，证明过程中利用奇函数的条件； 证明 ： 设 2121 ,0, xxlxx ， 则 1221 ),0(, xxlxx ， 由 xf 在 l,0 内单调增加得 ， 12 xfxf ，又 xf 为定义在 ll, 内的奇函 数，则 （ 1）式变形为 12 xfxf ，即 12 xfxf ， 则结论成立 。 3x3233图 1-1-3 y 0 6 设下面所考虑函数的定义域关于原点对称， 证明：
8、 （ 2） 两个 偶 函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数； （ 3） 两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数 。 知识点 ： 函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质 。 本题可作为结论应用。 思路 ： 按定义证明即可 。 证明 ： 设函数 xgxf , 定义域分别是 21, DD （ 21, DD 是 关于原点对 称 区间） ； （ 1） 设 xgxfxF ，定义域为 21 DD ，显然 21 DD 也 关于原点对称， 当 xgxf , 均为偶函数时， xFxgxfxgxfxF ， 得 xF 为偶函数； 当 xgxf , 均为奇函数时， xF
9、xgxfxgxfxF ，得 xF 为奇函数； （ 2） 令 xgxfxG ，定义域为 21 DD ， 21 DD 关于原点对称， 当 xgxf , 均为奇函数时， xGxgxfxgxfxG )(，得 xF 为偶函数； 当 xgxf , 均为偶函数时， xGxgxfxgxfxG ，得 xF 为 偶函数； 当 xgxf , 为一奇一偶时， xGxgxfxgxfxG ， 得 xG 为 奇 函数； 7 下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇 函数又非偶函数？ （ 1） 1sectan xxy ； （ 2） 2 xx eey ； （ 3） xexxy coscos ； （ 4） 22 xxxy
10、 。 知识点 ： 函数奇偶性定义 ，奇偶性是 函数的整体性质 ； 思路 ： 按定义 证明， 尤其先判断函数定义域是否关于原点对称， 并利用基本初等函数的性质； 解 ： （ 1） 1s e ct a n1s e ct a n xxxxxf ，显然既不等于 xf ，也不 等 于 xf ，故是非奇非偶函数； 下面三个函数的定义域为全体实数 R ，关于原点对称 （ 2） xfeexf xx 2，故是偶函数； （ 3） xfexxxf x c o sc o s，故是偶函数； （ 4） xfxxxxf 22，故是奇函数； 8 下列各函数中哪些是周期函数？并指出其周期： （ 1） 1cos xy ； （ 2
11、） xxy tan ； （ 3） xy 2sin 。 知识点 ： 函数周期性 。 思路 ： 利用定义，及基本初等函数性质，或已知结论，可 按已知结论（如弦函数 CxAy c os ， 则最小正周期2T，切函数也有类似结论）。 解 ： （ 1）由弦函数周期公式知最小正周期 2T ； （ 2） 对正 数 T ， TxTxTxf ta n， 而 切函 数周期是 的整数倍， 故 本题函数 不是周期函数； （ 3） 2 2c o s1s in 2 xxy ，则最小正周期 22T 9 证明： xxxf sin 在 ,0 上是无界函数； 知识点 ： 无界函数定义 。 思路 ： 证明 函数在 某 区间上是无界
12、的，只需 证对 0M （无论 M 有多大） ， ),0(0 x ， 使 其函数值 Mxf | 0 即可 。 证明 ： 对于 任意正数 M ，要 使 Mxxxf |sin| ， 考虑 当 Zkkx ,22 ， 22|s in| kxxxf 要使 Mk 22 ， 只要 2(,2 2 MMk ）， 取 12 20 Mk 0M （无论 M 有多大）， 2200 kx，使得 Mxxxf |s in| 000 ， xxxf sin 在 ,0 上是无界函数 （ 注 1： 0k 取值只要并且确保 Mkf 22 即可，因此取 2220 Mk 也可 ； 注 2： 数学 符号“ ”表示“任意”；“ ”表示“存在”；
13、“ ”表示“使得”。） 10 火车站行李收费规定如下：当行李不超过 50kg 时，按每千克 3/20 元收费，当超出 50kg 时，超重 部分按每千克 1/4 元收费，试建立行李收费 xf （元）与行李重量 kgx 之间的函数关系 式 。 知识点 ： 函数关系的建立 。 思路 ： 认清变量， 关键是找出等量 关系 。 解 ： 3 30 5 0 , 0 5 0,20 203 1 , 15 0 5 0 55 0 , 5 02 0 4 4xxx xf x f xx x 。 11 收音机每台售价为 90元 ，成本为 60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购超过 100 台的， 每多订一台，售价就
14、降低一分，但最低价为每台 75 元 a) 将每台的实际售价 p 表示为订购量 x 的函数； b) 将厂方所获得利润 L 表示成订购量 x 的函数； c) 某一商行订购了 1000 台，厂方可获 利润多少？ 知识点 ： 函数关系的建立，以及经济函数； cxfxf )(0)( 。 思路 ： 分清变量及函数关系，经济函数关系总利润 L （总收入） R (总成本 )C 。 解 ： 售价恰好降到 75元时需订购的台数位 1600100010 7590 ，则 （ 1）： 。9 0 , 0 1 0 019 0 ( 1 0 0 ) , 1 0 0 1 6 0 01007 5 , 1 6 0 0xp x xx
15、（ 2）： 29 0 6 0 , 0 1 0 016 0 9 0 1 0 0 6 0 , 1 0 0 1 6 0 01007 5 6 0 , 1 6 0 03 0 , 0 1 0 013 1 , 1 0 0 1 6 0 01001 5 , 1 6 0 0x x xL R C p x x x x x xx x xxxx x xxx （ 3） 2 1 0 0 01 0 0 0311 0 0 01 0 011 0 0 0 2 L （元） 。 习题 1-2 1 求下列函数 的 反函数： （ 1） ;11 xxy ； （ 2） 122xxy ； 知识点 ： 反函数求法 ； 思路 ： 解出 x 的过程即为
16、求反函数的过程，直接函数的 因变量 变 为反函数 的 自变量； 解 ： （ 1） xxyyyxxyxxxy 11111111（习惯上 自变量用字母 x 表示 ） （ 2）yyxyyyyy xxxxx 1l o g122212 2 2xxy 1log 2 。 2 设 xxxxf000,101， 求 1xf ， 12xf ； 知识点 ： 分段函数的定义； 思路 ： 代入即可； 解 ： 1 , 1 0 1 , 11 0 , 1 0 1 0 , 11 , 1 0 1 , 1xxf x x f x x 111,1011010101,1011 22222xxxxfxxxxf 3 设函数 xxxf 3 ，
17、xx 2sin ，求 12f， 1fff 知识点 ： 复合函数定义 ； 思路 ： 逐层代入即可： 解 ： 21122s in12 ， 12f 832121213 f； 01f ， 00001 3 fff ， 001 ffff 4 设 xxxf 1 ，求 xff 和 xfff 。 知识点 ： 函数的复合； 思路 ： 同上 题 ，逐层代入即可 。 解 ： xxxxxxxxfxff211111 ， （ 11, 2xx）； xxxxxxxxfxfff312112121 ， 定义域 31 ,21 ,1 :121 ,11 ,1 : xxxDxxxxxD 。 5 已知 xxf cos1 ， 2sin xx
18、， 求 xf 。 知识点 ： 函数复合； 思路 ： 换元法 令 txtx 1 （此种方法要求 x 易解） ， x 、 x 分别用 t1 、 t 代；换元法 将 xf 的表达式化成用 x 表达的式子 （需要技巧） ，再令 tx 代换 ； 解 ： 用 法 ： 2s i n222c o s2c o s12s i n 22 xxxxfxf ， 令 22 22222s in xxfttftx xt （自变量与用何字母表示无关） 。 6 设 xf 的定义域是 1,0 ，求 ： （ 1） 2xf ; （ 2） xf sin ； （ 3） axfaxf （ a0 ） （ 4） 21 xf 知识点 ： 复合函数
19、的定义域； 思路 ： xf 的定义域是 1,0 ，表明若有 Af ，则 1,0A ； 解 ： （ 1） 1,11,02 xx ； （ 2） Zk kkkkxx 12,212,201,0s i n（ 3） aax aaxax ax 1, 1,1,0 1,0， 当 aa 1 时， 即 210 a 时， 结果为 aa 1, ； 当 21a 时，结果为 ； （ 4） 1,1011,0122 xxx 7 设 2xxxf ，求：（ 1） xf 的定义域； （ 2） 221 xff 知 识点 ： 函数定义域及函数复合； 思路 ： 略 。 解 ： （ 1） Rxxxxx 22 0 ，故定义域为全体实数 R ；
20、 （ 2） 22222 2 xxxxxxxxfxff 2222 )2(2121 xxxxxff 8 xxf sin ， 21 xxf ，求 x 及其定义域； 知识点 ： 函数的复合及定义域； 解 ： kxxxxxf 21a r c s in1s in 22 ， x 的自然定义域为 111 2 x ，即 22 x 内容概要 名称 主要内容 （ 1.3， 1.4， 1.5） 1.3数列极限 数列极限定义（ N ）：任意给定正数 （无论多小），总存在正整数 N ，使得对于 Nn 时的一切 nx ，总有 axn 成立，则 axnn lim； 数列极限的性质： 极限的唯一性；收敛数列必有界；收敛数列的保
21、号性； 子数列收敛性； 1.4 函数 的极 限 函 数 极 限 定 义 Axfx lim函数 xf 当 x 大于某正数时有定义，如果对任意给定正数 （无论 多小），总存在正数 X ，使对满足 Xx 的一切 x ，总有 Axf Axfxx 0lim函数 xf 在 0x 的某一去心邻域有定义，如果对任意给定正数 （无 论多么小），总存在正数 ，使对满足 00 xx 的一切 x ， 总有 Axf 单侧 极限 xfx lim Axfxlim Axfx lim 且 Axfx lim xfx lim 单边 xfxx 0lim极限 xfxx 0lim Axfxx 0lim Axfxx 0lim 且 Axfx
22、x 0lim 函数极限的性质：唯一性，有界性，保号性，子序列的收敛性； 1.5无穷小与无穷大 （ 以0xx）为例 无穷小 定义：极限为零的变量（函数）； 定理： 定理 函数表示： 无穷小性质： 1. Axfxx 0lim的充要条件是 Axf ，其中 是当 0xx 时的无穷小； 2.有限个无穷小的和仍是无穷小； 3.有界函数与无穷小的乘积是无穷小； 无穷大 定义：任意给定正数 M (无论多大 ),当 0xx (即存在正数 ,当 00 xx 时 ),总有 Mxf ； 正无穷大，负无穷大统称为无穷大； 无穷大一定是无界变量，但无界不一定是无穷大； 习题 1-3 1 观察一般项 nx 如下的数列 nx
23、 的变化趋势，写出它们的极限： （ 1）nnx 31； （ 2） nx nn 11； （ 3）312 nxn ； （ 4） 22nnxn； （ 5） nx nn 1 知识点 ： 数列定义 。 思路 ： 写出前几项，观察规律 。 解 ： （ 1） 811,271,91,31 0； （ 2） 0,51,41,31,21,1 ； （ 3） 2,1 2 512,6412,2712,812,12 ； （ 4） 1,100 11,541,441,341241 nxn； （ 5） ,4,32,1 。 2 利用数列极限定义证明： （ 1） 01lim kn n（ k 为正常数）； （ 2） 4314 31lim n nn； （ 3） 0sin22lim2 nnnn。 知识点 ： 极限定义。 思路 ： 按 定义 即可 。
