1、第 1 页圆周运动中的临界问题1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题如图 1、图 2 所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用v 临界 Rg能过最高点的条件：v ，当 v 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生Rg Rg压力。不能过最高点的条件：vv 临界 （实际上球没到最高点时就脱离了轨道） 。如图 3 所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力能过最高点 v 临界0，此时支持力 Nmg当 0v 时，N 为支持力，有 0N mg ，且 N 随 v 的增大而减小Rg当 v 时， N0Rg当 v ， N 为拉力，有 N0
2、，N 随 v 的增大而增大Rg例 1 （99 年高考题）如图 4 所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过 O 的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中 a、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是 （ ）A、a 处为拉力，b 处为拉力B、a 处为拉力，b 处为推力C、a 处为推力，b 处为拉力D、a 处为推力，b 处为推力R 绳图 1v0vR图 2vOR 杆图 3bOa图 4第 2 页例 2 长度为 L0.5m 的轻质细杆 OA，A 端有一质量为 m3.0kg 的小球，如图 5所示，小球以 O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0ms
3、，g 取 10ms 2，则此时细杆 OA 受到 （ ）A、6.0N 的拉力 B、6.0N 的压力C、24N 的拉力 D、24N 的压力例 3 长 L0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于 O点，上端连接着一个质量 m 2kg 的小球 A，A 绕 O 点做圆周运动（同图 5） ，在 A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：当 A 的速率 v11ms 时当 A 的速率 v24ms 时2、在水平面内作圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物体，当角速度 变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特
4、别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等） 。例 4 如图 6 所示，两绳系一质量为 m0.1kg 的小球，上面绳长 L 2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为 30与 45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为 3 rad s 时，上、下两绳拉力分别为多大？ALOm图 53045ABC图 6第 3 页例 5 如图 7 所示，细绳一端系着质量 M0.6kg 的物体，静止在水平肌，另一端通过光滑的小孔吊着质量 m0.3kg 的物体，M 的中与圆孔距离为 0.2m，并知 M 和水平面的最大静摩擦力为 2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度 在什么范围 m 会处于静止状态？（g10ms 2
5、）说明： 一般求解“在什么范围内”这一类的问题就是要分析两个临界状态。3、巩固练习1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为 10 ms 时，车对桥的压力为车重的 。如果使汽34车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为 （ ）A、15 ms B、20 ms C、25 m s D、30ms2、如图 8 所示，水平转盘上放有质量为 m 的物块，当物块到转轴的距离为 r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零） 。物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的 倍。求：当转盘角速度 1 时，细绳的拉力 T1。 g2r当转盘角速度 2 时，细绳的拉力 T2。3 g2r三、小结r o图 8Mr om图 7第 4 页1
6、、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，绳子的悬点不一定是圆心。2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键。如速度的值是多大、某个力恰好存在还是不存在以及这个力的方向如何。答案例 1 分析：答案 A 是正确的，只要小球在最高点 b 的速度大于 ，其中 L 是杆的长；答案 B 也gL是正确的，此时小球的速度有 0v ；答案 C、D 肯定是错误的，因为小球在最低点时，杆对小球gL一定是拉力。例 2 解法：小球在 A 点的速度大于 时，杆受到拉力，小于 时，杆受压力。gL gLV0= ms msgL 100.5 5由于 v2.0 ms ms，我们知道：过最高点时，球对细杆产生压力。5小球受重力 m
7、g 和细杆的支持力 N由牛顿第二定律 mgNm v2LNmgm 6.0N 故应选 B。v2L例 3解法一：（同上例） 小球的速度大于 ms 时受拉力，小于 ms 时受压力。5 5当 v11ms ms 时，小球受向下的重力 mg 和向上的支持力 N5由牛顿第二定律 mgNm v2LNmgm 16Nv2L即杆受小球的压力 16N。当 v24ms ms 时，小球受向下的重力 mg 和向下的拉力 F5由牛顿第二定律 mgFm v2LFm mg44Nv2L即杆受小球的拉力 44N。解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。我们可不去做具体的判断而假设一
8、个方向。如设杆竖直向下拉小球 A，则小球的受力就是上面解法中的的情形。NmgmgF第 5 页由牛顿第二定律 mgFm v2L得到 Fm（ g）v2L当 v11ms 时，F 116N F 1 为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小球受力应向上，为支持力。则杆应受压力。当 v24ms 时，F 244N。 F 2 为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。则杆也应受拉力。例 4 解析：当角速度 很小时，AC 和 BC 与轴的夹角都很小，BC 并不张紧。当 逐渐增大到30时，BC 才被拉直（这是一个临界状态） ，但 BC 绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为 1，
9、则有：TACcos30mgTACsin30m 12Lsin30将已知条件代入上式解得 12.4 rads 当角速度 继续增大时 TAC 减小， TBC 增大。设角速度达到 2 时，T AC0（这又是一个临界状态） ，则有： T BCcos45mgTBCsin45m 22Lsin30将已知条件代入上式解得 23.16 rads 所以 当 满足 2.4 rads3.16 rads，AC 、BC 两绳始终张紧。本题所给条件 3 rads，此时两绳拉力 TAC 、T BC 都存在。TACsin30T BCsin45m 2Lsin30TACcos30T BCcos45mg将数据代入上面两式解得 T AC
10、0.27N， T BC1.09N注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小） 。如果 2.4 rad s 时，T BC0，AC 与轴的夹角小于 30。如果 3.16rad s 时，T AC0，BC 与轴的夹角大于 45例 5 解析：要使 m 静止，M 也应与平面相对静止。而 M 与平面静止时有两个临界状态：当 为所求范围最小值时，M 有向着圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向Mr om图 7第 6 页背离圆心，大小等于最大静摩擦力 2N。此时，对 M 运用牛顿第二定律。有 Tf mM 12r 且 Tmg解得 12.9 rads当 为所求范围最大值时，M 有背离圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力 2N。再对 M 运用牛顿第二定律。有 Tf mM 22r 解得 26.5 rads所以，题中所求 的范围是： 2.9 rads6.5 rad s
