1、 函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性1、定义：对于函数 ，对于定义域内的自变量的任意两个值 ，当 时，都有)(xfy 21,x21x，那么就说函数 在这个区间上是增（或减）函数。)( 212xff 或 )(xfy2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。 （提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。 ）3二次函数的单调性：对函数 ，cbxaxf2)()0(a当 时函数 在对称轴 的左侧单调减小，右侧单调增加；0a)(xf当 时函数 在对称轴 的左侧单调增加，右侧单调减小；a2例 1：讨论函数 在(-
2、2,2)内的单调性。32xf()4证明方法和步骤：1、设元：设 是给定区间上任意两个值，且 ；21,x 21x2、作差： ；)(ff3、变形：（如因式分解、配方等） ；4、定号：即 ；0)(0)(2121 xffxff或5、根据定义下结论。例 2、判断函数 在 上的单调性并加以证明.)(xf),(5复合函数的单调性：复合函数 在区间 具有单调性的规律见下表：)(xgfy),(ba)(ufy增 减 xg增 减 增 减 )(fy增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减” 。例 3：函数 的单调减区间是 （ ）32xyA. B. C. D.,(),11,(),16函数的
3、单调性的应用：判断函数 的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域） 。)(xfy例 4：求函数 在区间 上的最大值和最小值.126,二、奇偶性1定义：如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 ，那么函数 f(x)就叫偶函数；)(xff（等价于： ）0)()(ff如果对于 f(x)定义域内的 任意一个 x,都有 ，那么函数 f(x)就叫奇函数。)(xff（等价于： ）()( ff注意：当 时，也可用 来判断。0)(xf 1)(xf2奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。若函数 为奇函数，且在 x=0 处有定义，则 ；)(xf 0)(f3判断一个函数的奇偶性的步
4、骤先求定义域，看是否关于原点对称; 再判断 或 是否恒成立。)(xff)(xff4奇偶函数图象的性质奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。偶函数的图象关于 y 轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数为偶函数。5常用结论：(1)奇偶性满足下列性质：奇奇=奇，偶偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇。(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。例 4：判断函数 的奇偶性。21)(xf分析：解此题的步骤（1）求函数的定义域；（2）化简函数表达式；（3）判断函数的奇偶性针对性练习：1、
5、判断下列各函数是否具有奇偶性、 、 xf2)(3243)(xxf、 、 1xf 2f,1、 、xf2)( 22)(xxf2、判断函数 的奇偶性。)0(2f.)(,)( )()(0,)(: 222为 奇 函 数故总 有 有时即当 有时即当解 xffxf xffx3、已知 且 ，那么 （利用奇偶性求函数值）835baf 10)(f)(f4、已知偶函数 在 上为减函数，比较 ， ， 的大小。 （利用奇偶性比较大小）)(xf0,)5(f1(f)35、已知 为偶函数 ，求 的解析式？（利用奇偶性求解)(f 时当时当 0,1)(, xxf )(xf析式）6、若 是偶函数，讨论函数 的单调区间？（利用奇偶性
6、讨论函数的单3)()2()xkxf )(xf调性）7、已知函数 是偶函数，判断 的奇偶性。 （利用奇偶性)0()(23acxbaxf cxbaxg23)(判断函数的奇偶性）8、定义在 R 上的偶函数 在 是单调递减，若 ，则 的取值范)(xf),)123()12(aff围是如何？（利用奇偶性求参数的值）9、 （2004.上海理）设奇函数 f(x)的定义域为-5,5.若当 x0,5时, f(x)的图象如右图, 则不等式 x 的解是 . 0f （利用图像解题）10、已知函数 ，若 为奇函数，则1().2xfaf_。 （利用定义解题）a函数的周期性与对称性函数的轴对称定理 1：函数 xfy满足 xb
7、faf，则函数 xfy的图象关于直线 2bax对称.推论 1：函数 满足 ，则函数 的图象关于直线 对称.推论 2：函数 fy满足 f，则函数 fy的图象关于直线 0（y 轴）对称.函数的周期性定理 2：函数 xf对于定义域中的任意 x,都有 Txf，则 xf是以 T为周期的周期函数；推论 1：函数 对于定义域中的任意 ,都有 ba，则 是以（ab）为周期的周期函数；推论 2：下列条件都是以 2T 为周期的周期函数：1、 xfTxf；2、 xfTf1 ；3、 fxTfx；4、 )(1)(xfTxf；5、 1)(ff；6 、 )()(ff函数的点对称定理 3：函数 xfy满足 bxaff2，则函
8、数 xfy的图象关于点 ba,对称.推论 1：函数 满足 0，则函数 的图象关于点 0对称.推论 2：函数 fy满足 f，则函数 fy的图象关于原点 ,对称.（总结：同号看周期，异号看对称）针对性练习：1、设函数 )(xfy的定义域为 R，且满足 0)2()xf，则 )(xfy图象关于_对称。2、设函数 的定义域为 R，且满足 1，则 图象关于_对称。3、设函数 )(f的定义域为 R，且满足 )()(ff，则 )1(f图象关于_对称,)(xfy图象关于 _对称。4、已知函数 f是 (,)上的偶函数，若对于 0x，都有 (2()fxf） ，且当 0,2)x时，xf)(，则 2089f的值为（ ）A B 1 C 1 D 25、已知定义在 R 上的奇函数 )(xf，满足 (4)(fxfx,且在区间0,2上是增函数,则 ( )A. (2)(80ff B. 8015C. 125) D. (25)()fff6、设 ()fx是定义在 R上以 6 为周期的函数， x在 ,3内单调递减，且 ()yfx的图像关于直线3对称，则下面正确的结论是 （ ） A. (1.5).)(.5)fff B. (.5)(1.6.5)fffC. 61 D. 3(
