1、1e2aPOA P BCBAC3.1.3 空间向量基本定理一、学习目标：1掌握空间向量的基本定理及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；2在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。重点难点：1 空间向量的基本定理及其推论； 2 空间向量的基本定理唯一性的理解。 二、课前自学平面向量基本定理的内容及其理解如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对21,e于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，a 21,使 a21e1、空间向量的基本定理如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一321,e p个唯一的有序实数组 ，使),(zyx
2、321ezyxp证明：（存在性）设 不共面，321,e过点 作OpOPCBA,过点 作直线 平行于 ，交平面 于点 ；P BP在平面 内，过点 作直线 ，/,/A分别与直线 相交于点 ，,于是，存在三个实数 ，,xyz使 3/2/1/ , ezOCeBOexAOA/CMED/B/ADB OPABCxOAyBzC所以 321ezyexp（唯一性）假设还存在 使,xyz 3/2/1/ ezyexp 321ezyx3/2/1/e 0)()()( / z不妨设 即 x 3/2/1 ee 共面此与已知矛盾 该表达式唯一 . 32,综上两方面，原命题成立 奎 屯王 新 敞新 疆由此定理， 若三向量 不共面
3、，那么空间的任一向量都可由321,e321,e线性表示，我们把 叫做空间的一个基底， 叫做基向321,e 321,e量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用 表示。kji,推论：设 是不共面的四点，则对空间任一点 ，都存在唯一,OABCP的三个有序实数 ，使 奎 屯王 新 敞新 疆,xyzPxOAyBzC三、问题探究例 1、 如图，在正方体 中，点 E 是 AB 与 OD 的交点,/DCAOBM 是 OD/与 CE 的交点，试分别用向量 表示 和O,MABCOMNG例 2、 如图，已知空间四边形 ，其对角线 ， 分别是OABC,BAC,N对边的中点，点 在线段 上，且 ，,OABCGN2N用基底向量 表示向量,C 奎 屯王 新 敞新 疆四、反馈小结课本练习 88 页练习 1-5小结：
