1、 毕 业 论 文（设计） 论文（设计）题目 ： 向量在初等几何中的应用 系 别： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2010104520 姓 名： 指导教师： 黄春妙 时 间： 河 池 学 院 毕 业 论 文（设 计） 开 题 报 告 系别 : 数学系 专业 :数学与应用数学 学 号 2010104520 姓 名 论文（设计）题目 向量法在初等几何中的运用 命题来源 教师命题 学生自主命题 教师课题 选题意义 (不少于 300 字 )： 向量与解析几何都是代数形式和几何形式的统一体 ,有着异曲同工之妙。向量 既能体现“ 形 ”的直观位置特征 ,又具有“数”的良好运算性质 ,是
2、数形结合与转换的桥梁和纽带 ;而解析几何也具有数形结合与转换的特征。 向量与中学数学的许多主干知识综合 ,形成知识的交汇点。因此 , 它或作为知识的载体 ,或作为解决问题的工具 ,几乎渗透到数学的所有支之中。它的引入给高中数学增添了新的活力 ,给学生的思维搭建了一个更加广阔的平台。高中数学中许多难度较大的问题 ,用向量来处理就能迎刃而解。自从向量引入高中数学后 ,高考每年都考查一个向量基本知识的选择或填空题 ,并在很多解答题中都有体现。因此在平面解析几何的考查中 ,经常以向量为载体给出各类几何条件 ,在解题中 ,以向量的基本知识为切入点 ,考查解析几何的知识 ,体现了高考在知识的交汇点处命题的
3、原则 ,成为中学数学命题的一个新的亮点。本文主要就向量在解析几何、立体几何等问题中的应用进行了详细的探讨。 研究综述 (前人的研究现状及进展情况，不少于 600 字 ): 向量概念的演变首先是物理学发展的需要，大约从 17 世纪开始，向量相加“平行四边形法则”就已经被用来确定两个运动“合成”运动所驱使的点的运动。 17 世纪中叶，向量的加法和数乘运算已广泛运用与物理学等自然科学研究之中。为了复数应 用的合法化，韦塞尔（ C.wessel）于 1797 年，阿尔岗于 1806 年独立的建立起复数的几何表示，而高斯的工作是这些原理变得广为人知，并且被数学家们所接受，再熟悉了复数的几何表示后，数学家
4、们认识到复数可用来表示和研究平面上的向量，数学家们试图将这种思想转到三维空间去。经过长期的努力，在 1843 年，哈曼顿终于得到有 4 个分量的四元素。 大约 19 世纪中期，格拉斯曼借助直角坐标系，引进了向量的向量积以及两个向量的向量积，并自然的引进了三个向量的混合积和二重向量积等运算，并研究它们的运算性质。在微分几何的发展中 ，高斯 和黎曼等在 19 世纪引入张量的概念，随后又发展成张量分析，进而建立和发展了黎曼几何， n维空间中的标量和向量都是张量的特例。希尔伯特于 20 世纪初，以平方和数列空间为标本，将 n维欧几里得空间理论推广到无限维。在希尔伯特空间中，有内积、夹角、也有正交性，这
5、实际是无限维的解析几何学。希尔伯特空间理论对其后的量子力学的诞生和发展起了巨大作用。 向量作为一种理论工具在几何中的运用，确实 1918 年著名数学家韦尔提出了欧几里得几何学的“向量”论证，他应用欧几里得向量空间作为辅助结构，将向量空间元素作为点空间的算子，并用向量空 间的维数来确定空间的维数。韦尔的公里体系是欧几里得空间的理论转化为线性代数的语言。 研究的目标和主要内容（ 不少于 400字 ） 一 研究的目标 探讨向量法在初等几何中几大求解问题中的应用，在熟记基本公式、性质以及基本作图方法的基础上，分析向量法在初等几何问题上的简便应用，进行分类归纳，从而找出规律性的方法和技巧。同时，遇到具体
6、问题要仔细分析，选择一个合适而简单的方法，达到灵活运用、熟练掌握不定积分的计算方法与技巧的目标。 二 主要内容 1、 在直线的共点问题中的应用 2、 在点共线问题中的应用 3、在直线平行问题 中的应用 4、在直线垂直问题中的应用 5、在距离问题 中的应用 6、关于面积问题的应用 7、关于两直线夹角问题的应用 拟采用的研究方法 文献法 、网络搜索法 、探究分析、归纳总结、教师指导法 研究工作的进度安排 2014 年 1 月至 2014 年 2 月，阅读相关方向文献资料，与指导教师商定题目 . 2014 年 3 月，大量阅读与所撰写内容相关的参考资料，拟定论文（设计）详细写作提纲，填写河池学院毕业
7、论文（设计）开题报告，交指导教师审核批准 . 2014 年 4 月 到 5 月 上旬，撰写论文初稿，及时与指导老师联系，汇报写作进展， 遇到难以解决的问题应及时向指导老师请教，完成初稿，交指导教师审阅 . 2014 年 5 月 中旬 接受指导教师整改意见，反复修改，最后定稿 . 2014 年 5 月 下旬至 6 月上旬 准备论文答辩，答辩结束后，把论文和各种表格装订成册交数学系办公室归档 . 参考文献目录 （作者、书名或论文题目、出版社或刊号、出版年月日或出版期号） 1 华东师范大学数学系 .数学分析（上册） M.3 版 .北京：高等教育出版社， 2001. 2 王洪英 .一类不定积分的计算及
8、应用 J.山东师大学报（自然科学版）， 2001,16（ 3） :317-318. 3 萧胜中 .浅谈不定积分的求解方法 J.广东民族学院学报（自然科学版）， 1998（ 4） :92-95. 4 高丽，齐琼，谢瑞 .关于三类特殊不定积分求解方法的讨论 J.西南民族大学学报 自然科学版， 2010,36（ 2） :169-171. 5 李永杰，刘展 .一类三角函数有理式积分计算的简便方法及推广 J.平顶山学院学报，2009,24（ 5）： 68-70. 6 陈庆轩 .介绍一类不定积分的解法 J.重庆交通学院学报， 1986,（ 3） :184-194. 7 展丙军，李兆兴 .两类不定积分的巧解
9、 J.高等数学研究， 2005， 8（ 6）： 20-24. 指导教师意见 该生的选题拟采查阅资料、归纳分析的方法， 探讨几类向量法的求解方法，归纳总结出几种简便方法以求相应类型的几何问题， 选题有意义，符合专业研究目标，有一定的创新性，并且难度适中，对工作量的要求合理，估计能够完成既定目标，同意开题 . 签名： 2012 年 月 日 教研室主任意见 同意指导教师的意见，同意开题 . 签名： 2012年 月 日 河 池 学 院 2014 届 毕业论文（设计）学生自主选题审批表 系别 : 数学系 专业：数学与应用数学 学号 2010104520 姓名 论文 (设计 )题目 向量在初等几何中的应用
10、 题目类型 理论研究 应用研究 设计开发 其他 是否在实验室、工程实践和社会实践中完成 是 否 选题依据与内容 : 在高中数学新课程教材中， 在必修二学习空间几何体，点、线、面的位置关系，接着必修四第二 章 学习平面向量， 让学生对向量有了初步认识，到选修 2-2 的空间向量与立体几何充分将之前学过的内容有机的结合在一起， 用向量解决 空间 几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果 ，比起过去的常规法 解决 空间 几何问题 有了更深刻更新颖的认识 。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。 平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮
11、点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的 “ 双重身份 ” ，能融数形于 一体，能与中学数学教学 内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，空间 几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。 预期成果： 探讨向量法的简易求解方法，分类归纳，找出规律性的方法和技巧估计能过达到灵活运用、熟练掌握向量法的计算方法与技巧的目标 教研室主任审查意见 : 该生的选题符合专业研究目标，估计能够完成既定目标，同意 开题 签名 : 年 月 日 系 (部 )主管领导 意见
12、: 同意开题 签名 : 年 月 日 注 :本表分选题填写 ,每题一页 ,由系（院）存档。 目 录 摘 要 . ABSTRACT. 1 向量方法在研究几 何问题中的作用 . 6 2 向量方法解决证明问题的直接应用 . 2 2.1 平行问题 . 2 2.1.1 证明两直线平行 . 2 2.1.2 证明线面平行 . 3 2.2 垂直问题 . 4 2.2.1 证明两直线垂直 . 4 2.2.2 证明线面垂直 . 5 2.2.3 证明面面垂直 . 5 2.3 处理角的问题 . 6 2.3.1 求异面直线所成的角 . 6 2.3.2 求线面角 . 7 2.3.3 求二面角 . 8 3 向量方法解决度量问题
13、的直接应用 . 10 3.1 两点间的距离 . 10 3.2 点与直线距离 . 10 3.3 点到面的距离 . 11 3.4 求两异面直线的距离 . 11 3.5 求面积 . 12 3.6 求体积 . 13 4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用 . 14 5 向量在立体几何中应用的教学反思 . 错误 !未定义书签。 5.1 对比综合法与向量法的利弊 . 错误 !未定义书签。 5.2 向量法解决立体几何问题的步骤 . 错误 !未定义书签。 5.3 向量法能解决所有立体几何问题吗 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 错误 !未定义书签。 向量法在初等几何中的运用 专业：数学与应用数学
14、指导老师：黄春妙 摘 要 向量是现代数学中重要和基本的概念之一，具有代数形式 和几何形式的“双重身份”，是沟通代数和几何的一种工具。纵观这几年的高考题，绝大部分都可以用几何法和向量法去解决。因为 对此问题向量具有良好的运算通性，几何的直观性，表达的简洁性和处理问题的一般性。通常可使问题化难为易，化繁为简，本文通过举例就向量法证明几何问题做一些探讨。 关键词 向量法，初等几何，应用 引言 向量 既 是一种既有大小 ,又有方向的量它的运算具有鲜明的几何意义 ,作为一种用代数方法研究几何问题的有力工具 ,它不仅在研究复杂图形方面有着重要作用 ,在研究初等几何方面也有着广泛的应用 ,尤其对于初 等儿何
15、中的平行、垂直、共点共线等问题应用效果尤佳 ， 现通过几个实例对此进行探讨 。 向量在立体几何中的应用 摘 要 作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化 .而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化 .向量法应用于平面几何中装 订 线 时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合 .立体几何常常涉及 到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来
16、处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化 . 关键词 ： 向量；立体几何；证明；计算；运用 ABSTRACT As one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry o
17、f algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the
18、 plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are “form“ to “form“ reasoning process, causes the problem-solving become programmed. Keywords： Vector; solid geometry; proof; calculation; use
