1、习题二2.1 某人根据医嘱，每天需补充 A、 B、 C 三种营养，A 不少于 80 单位，B 不少于 150 单位，C 不少于 180 单位此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表 2-22 所示（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有 A，B，C 三种营养成分试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型表 2-22含量 食物营养成分一 二 三 四 五 六 需要量A 13 25 14 40 8 11 80B 24 9 30
2、25 12 15 150C 18 7 21 34 10 0 180食物单价（元/100g） 0.5 0.4 0.8 0.9 0.3 0.2【解】（1）设 xj为每天第 j 种食物的用量，数学模型为（2）设 yi为第 i 种单位营养的价格，则数学模型为2.2 写出下列线性规划的对偶问题（1） 【解】（2） 【解】（3） 【解】（4） 【解】对偶问题为： 2.3 考虑线性规划(1)说明原问题与对偶问题都有最优解；(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解；(3)利用公式 CBB1 求原问题的最优解；(4)利用互补松弛条件求原问题的最优解【解】(1)原问题的对偶问题为容易看出原问题和对偶问题
3、都有可行解，如 X(2 ，1)、Y(1，0，1) ，由定理 2.4 知都有最优解。(2)对偶问题最优单纯形表为C(j) 4 2 7 0 0Basis C(i) y1 y2 y3 y4 y5 R. H. S.y3 7 0 -1/5 1 4/5 -1/5 28/5y1 4 1 7/5 0 -3/5 2/5 4/5C(j)-Z(j) 0 -11/5 0 -16/5 -1/5 w=42.4对偶问题的最优解 Y(4/5,0,28/5)，由定理 2.6，原问题的最优解为 X=(16/5，1/5)，Z42.4（3）C B=(7,4), , (4)由 y1、 y3不等于零知原问题第一、三个约束是紧的，解等式得
4、到原问题的最优解为 X=(16/5，1/5)。2.4 证明下列线性规划问题无最优解证明：首先看到该问题存在可行解，例如 x=(2,1,1)，而上述问题的对偶问题为由约束条件知 y10，由约束条件当 y20 知 y11，对偶问题无可行解，因此原问题也无最优解(无界解)。2.5 已知线性规划的最优解 ，求对偶问题的最优解【解】其对偶问题是：由原问题的最优解知，原问题约束的松弛变量不等于零( )， x1、 x3不等于零，则对偶问题的约束、约束为等式，又由于 知 y30；解方程得到对偶问题的最优解 Y=(5/2,5/2,0)；w 55/227.52.6 用对偶单纯形法求解下列线性规划【解】将模型化为对
5、偶单纯形表：cj 3 4 5 0 0CB XB X1 X2 X3 X4 X5 b00X4X51222311001810C(j)-Z(j) 3 4 5 0 0 003X4X10111 5/21/2101/21/235C(j)-Z(j) 0 1 7/2 0 3/2 053X2X101105/22111/2132C(j)-Z(j) 0 0 1 1 1b 列全为非负，最优解为 x(2，3，0) ；Z18【解】将模型化为3 4 0 0XB CB X1 X2 X3 X4 bX3 0 -1 -1 1 0 -4X4 0 2 1 0 1 2CjZj 3 4 0 0 X1 3 1 1 -1 0 4X4 0 0 -
6、1 2 1 -6CjZj 0 1 3 0 X1 3 1 0 1 1 -2X2 4 0 1 -2 -1 6CjZj 0 0 5 1 出基行系数全部非负，最小比值失效，原问题无可行解。【解】将模型化为cj 2 4 0 0 0XB CB X1 X2 X3 X4 X5 bX3 0 2 3 1 0 0 24X4 0 -1 -2 0 1 0 -10X5 0 -1 -3 0 0 1 -15CjZj 2 4 0 0 0 X3 0 1 0 1 0 1 9X4 0 -1/3 0 0 1 2/3 0X2 4 1/3 1 0 0 1/3 5CjZj 2/3 0 0 0 4/3 最优解 X=(0，5)；Z20【解】将模
7、型化为Cj 2 3 5 6 0 0XB CB X1 X2 X3 X4 X5 X6 bX5 0 -1 -2 -3 -4 1 0 -2X6 0 -2 1 -1 3 0 1 -3CjZj 2 3 5 6 0 0X2 3 1/2 1 3/2 2 -1/2 0 1X6 0 -5/2 0 -5/2 1 1/2 1 -4CjZj 1/2 0 1/2 0 3/2 0X2 3 -1 1 0 13/5 -1/5 3/5 -7/5X3 5 1 0 1 -2/5 -1/5 -2/5 8/5CjZj 0 0 0 1/5 8/5 1/5X1 2 1 -1 0 -13/5 1/5 -3/5 7/5X3 5 0 1 1 11
8、/5 -2/5 1/5 1/5CjZj 0 0 0 1/5 8/5 1/5X1 2 1 0 1 -2/5 -1/5 -2/5 8/5X2 3 0 1 1 11/5 -2/5 1/5 1/5CjZj 0 0 0 1/5 8/5 1/5原问题有多重解：X (1)(7/5，0，1/5，)；最优解 X(2) (8/5，1/5 ，0) ；Z19/5如果第一张表 X6 出基，则有Cj 2 3 5 6 0 0XB CB X1 X2 X3 X4 X5 X6 bX5 0 -1 -2 -3 -4 1 0 -2 X6 0 -2 1 -1 3 0 1 -3 CjZj 2 3 5 6 0 0X5 0 0 -5/2 -5
9、/2 -11/2 1 -1/2 -1/2X1 2 1 -1/2 1/2 -3/2 0 -1/2 3/2CjZj 0 2 4 9 0 1 X2 3 0 1 1 11/5 -2/5 1/5 1/5X1 2 1 0 1 -7/5 -1/5 -2/5 8/5CjZj 0 0 2 23/5 4/5 3/5 7某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品 A、B、C，有关资料见表 2-23表 2-23产品材料消耗原材料A B C每月可供原材料（Kg）2 1 1 2001 2 3 500甲乙丙 2 2 1 600每件产品利润 4 1 3（1）怎样安排生产，使利润最大（2）若增加 1kg 原材料甲，总利润增加多少（3）
10、设原材料乙的市场价格为 1.2 元/Kg，若要转卖原材料乙，工厂应至少叫价多少，为什么？（4）单位产品利润分别在什么范围内变化时，原生产计划不变（5）原材料分别单独在什么范围内波动时，仍只生产 A 和 C 两种产品（6）由于市场的变化，产品 B、C 的单件利润变为 3 元和 2 元，这时应如何调整生产计划（7）工厂计划生产新产品 D，每件产品 D 消耗原材料甲、乙、丙分别为 2kg，2kg 及1kg，每件产品 D 应获利多少时才有利于投产【解】（1）设 x1、x 2、x 3 分别为产品 A、B 、C 的月生产量，数学模型为最优单纯形表：C(j) 4 1 3 0 0 0XB CB X1 X2 X
11、3 X4 X5 X6 R.H.S. RatioX1 4 1 1/5 0 3/5 -1/5 0 20 X3 3 0 3/5 1 -1/5 2/5 0 160 X6 0 0 0 0 -1 0 1 400 C(j)-Z(j) 0 -8/5 0 -9/5 -2/5 0 Z=560 最优解 X=（20，0，160），Z=560 。工厂应生产产品 A20 件，产品 C160 种，总利润为560 元。（2）由最优表可知，影子价格为 ,故增加利润 1.8 元。（3）因为 y2=0.4，所以叫价应不少于 1.6 元。（4）依据最优表计算得（5）依据最优表计算得（6）变化后的检验数为 2=1,4=-2,5=0。故
12、 x2 进基 x1 出基 ,得到最最优解 X=(0,200,0)，即只生产产品 B 200 件,总利润为 600 元。C(j) 4 3 2 0 0 0XB CB X1 X2 X3 X4 X5 X6 R.H.S. RatioX1 4 1 1/5 0 3/5 -1/5 0 20 100X3 2 0 3/5 1 -1/5 2/5 0 160 800/3X6 0 0 0 0 -1 0 1 400 MC(j)-Z(j) 0 1 0 -2 0 0 560 X2 2 5 1 0 3 -1 0 100 MX3 3 -3 0 1 -2 1 0 100 100X6 0 0 0 0 -1 0 1 400 MC(j)
13、-Z(j) -5 0 0 -5 1 0 X2 2 2 1 1 1 0 0 200 X4 0 -3 0 1 -2 1 0 100 X6 0 0 0 0 -1 0 1 400 C(j)-Z(j) -2 0 -1 -3 0 0 (7)设产品 D 的产量为 x7, 单件产品利润为 c7，只有当 时才有利于投产。则当单位产品 D 的利润超过 4.4 元时才有利于投产。8对下列线性规划作参数分析（1） 【解】0 时最优解 X=(4,3,0)；最优表：C(j) 3 5 0 0 0Basis C(i) X1 X2 X3 X4 X5 R. H. S.X1 3 1 0 1 0 0 4X2 5 0 1 0 0.5
14、0 3X5 0 0 0 -3 -1 1 0C(j)-Z(j) 0 0 -3 -2.5 0 27将参数引入到上表：C(j) 32 5 0 0 0Basis C(i) X1 X2 X3 X4 X5 R.H.S.X1 32 1 0 1 0 0 4X2 5 0 1 0 0.5 0 3X5 0 0 0 -3 -1 1 0C(j)-Z(j) 0 0 32 -2.50.5 0 27当320 及-2.50.5 0 时最优基不变，有1.55。当 5 时 X4 进基 X2 出基，用单纯形法计算。参数变化与目标值变化的关系如下表所示。From To From To Leaving EnteringRange (Ve
15、ctor) (Vector) OBJ Value OBJ Value Slope Variable Variable1 0 5 27 52 5 X2 X42 5 M 52 M 8 3 0 -1.5 27 19.5 5 X1 X34 -1.5 -M 19.5 M -3 目标值变化如下图所示。（2）【解】0 时最优解 X=(4,3,0)，Z27；最优表：C(j) 3 5 0 0 0Basis C(i) X1 X2 X3 X4 X5 R. H. S.X1 3 1 0 1 0 0 4X2 5 0 1 0 0.5 0 3X5 0 0 0 -3 -1 1 0C(j)-Z(j) 0 0 -3 -2.5 0 27
