1、1解带随机扰动和随机收益的风险模型终极破产概率的再生核方法【摘要】本文所讨论的风险模型在经典风险模型的基础上，增加了净资产收益和随机扰动， 以模拟保险公司在资产管理过程中的损益和在经营过程中的费用波动. 可以证明，此模型对应的生存概率，满足一个第二类 Volterra 积分微分方程. 本文采用再生核方法推导出终极破产概率的无穷级数形式的解析表达式， 再通过截断和近似的方法得到了能在计算机上实现的近似解. 【关键词】破产概率，风险模型，Volterra 积分微分方程，再生核方法 1.引言 由于保险理赔的发生具有随机性，保险公司在实际经营过程中将面临破产的风险. 保险公司在其净资产为零的时刻宣告破
2、产. 经典的破产风险模型虽然能较好地模拟业务规模和结构趋于稳定的保险公司， 但仍然有不完善的地方： 忽略了保险公司在实际经营过程中面临的费用波动风险， 也未计入保险公司在资产管理过程中可能出现的损益. 学术界对于各类破产风险模型有着非常深入的研究， 例如， Wang et al（2013）引入了带常数收益率的风险模型， 并得出了有限时间内破产概率的渐进等式； Tuncel 和 Tank（2014）做出了理赔次数非齐次的风险模型的生存概率的递推公式； Paulsen（1993）给经典风险模型加入2了随机扰动项和随机收益率， 得出了一些富有意义的结论， 并在Paulsen （2005）中做出了该模
3、型的数值解. 本文是在 Tang 和Lam（2007） ， Lam 和 Tang（2007）的基础上， 利用再生核方法做出了该模型的终极破产概率的无穷级数形式的解析表达式， 并得到了具有应用价值的近似解. 2.模型 线性随机微分方程： 的解是 Y 净资产含有随机收益率的破产风险过程. 其中，Pt 是盈余生成过程 式（2.2）中 p 是已赚净保费收入速率，Wpt 是独立的标准布朗运动，pWp，t 表示扰动量；复合泊松过程 t 是表示理赔次数的泊松过程，密度记为 ，Si 是理赔大小， 其分布记为 F. 另外， Rt 是净资产的随机收益率 其中$r$是无风险利率，Wr，t 是独立于 Pt 的标准布朗
4、运动，RWR，t 表示收益率的随机扰动量. 式（2.4）是一个第二类 Volterra 积分微分方程， 可做如下处理， 参见 Paulsen et al（2005）. 定理 2.1 方程（2.4）可以通过分部积分法，表示为一个第二类Volterra 积分方程 3.再生核方法 可检验， 对于任意函数 uW0，T均有 （u（y） ，R（x，y） ）=u（x） （3.4） 3R（x，y）被称为再生核函数， 常记 Rx（y）=R（x，y）. 对于 i（x）我们有如下两个定理， 详细证明可参见崔明根（2003）. 定理 3.2 设xi1 在中稠密， 方程（2.5）式的解可以解析地表示为 为了能在计算机上
5、实现， 我们需要有限个 （x）的值去构造方程（2.5）的近似解， 即解析解（3.9）的截断， 然而，在实际构造近似解 n（x）时， 直接计算正交化系数 jt很困难， 我们需要换个方法. 4.数值算例 算例 4.1 假设 p=1.1，=1，r=0.05，2p=2R=0 服从均值为 1 的指数分布. 由于 s 为指数分布，且模型不带扰动， 是一种特殊情况，我们可以通过 Segerdahl 的公式再用 Splus 可求得一个精度极高的解， 可以认为是真解. 其中， 是真解，再生核 1 近似解取节点间距 0.05， 积积分上限 100； 2 取节点间距 0.025， 积分上限 100. D 为对应的相
6、对误差， D=由以上结果可以看出， 节点间距越小， 近似解精度越高. 即 n 越大， 误差越小， 与定理 3.5 一致. 本文使用的再生核方法对带随机扰动和随机收益的风险模型有较为不错的结果. 在无扰动的情形下，再生核方法近似解的精度相当高；在有扰动的情形下， 需要通过减小节点间距和增加积分上限来使近似解达到一个较高的精度. 由于经典风险模型是本文所讨论模型的一个退化情4形，本文的方法和结论也适用于经典风险模型. 参考文献： 1Altan Tuncel， Fatih Tank. Computational results on the compound binomial risk model
7、with nonhomogeneous claim occurrences J. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2014， 263： 69-77. 2崔明根. 再生核空间数值分析 M. 北京：科学出版社，2003. 3Jostein Paulsen， Juma Kasozi， Andreas Steigen. A numerical method to find the probability of ultimate ruin in the classical risk model with stochastic retur
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10、a Constant Interest Rate J. Methodology and Computing in Applied Probability， 2013， 15： 109-124. 8Ya-yong Tang， Yeh Lam. Numerical solution to an integral equation in geometric process J. Journal of Statistical Computation and Simulation， 2007， Vol.77， No.7， 549-560. 9Yeh Lam， Ya-yong Tang. The analytic solution of an integral equation in geometric process J. Research Report， No. 451， 2007， Department of Statistics and Actuarial Science， The University of Hong Kong.
