1、2 线性空间的定义 与简单性质 3 维数 基与坐标4 基变换与坐标变换5 线性子空间7 子空间的直和8 线性空间的同构6 子空间的交与和1 集合 映射线性空间概念引言 线性空间是线性代数的中心内容 , 它是几何空间的抽象和推广 在解析几何中讨论的三维向量， 它们的加法和数量乘法可以描述一些几何的和力学学的问题的有关属性为研究一般线性方程组解的理论，我们把三维向量推广到 n维向量，定义了 n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线性方程组的解的理论现在把 n维向量抽象成集合中的元素 , 撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及
2、运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应用事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域，同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义一、集合 具有某种属性的一些对象看成一个整体 , 称为集合 ,当 a是集合 A的元素时，就说 a 属于 A， 记作： ； 当 a不是集合 A的元素时，就说 a不属于 A， 记作： 1、定义组成集合的这些对象称为集合的元素 用小写字母 a、 b、 c 等表示集合的元素 常用大写字母 A、 B、 C 等表示集合； 集合的表示方法一般有两种
3、： 描述法 、 列举法 描述法 ：给出这个集合的元素所具有的特征性质 .列举法 ：把构成集合的全部元素一一列举出来 .例 1例 2 N ， 2Z 例 3M x | x具有性质 P M a1， a2， ， an2、集合间的关系 如果 B中的每一个元素都是 A中的元素，则称 B是A的 子集 ，记作 ，（读作 B包含于 A）当且仅当 空集：不含任何元素的集合，记为 注意： 如果 A、 B两集合含有完全相同的元素，则称 A与B相等 ，记作 A B .A B当且仅当 且 约定：空集是任意集合的子集合 .3、集合间的运算 交 ： ； 并 ： 显然有，1、证明等式 : 证：显然， 又 ， ， 从而 , 练习
4、： 故等式成立2、已知 ， 证明： 又因 ， 2） ， 但是 ， 又因 ， 证 ： 1） 此即，因此无论哪一种情况，都有 . 此即， 二、映射设 M、 M是给定的两个非空集合，如果有 一个对应法则 ， 通过这个法则 对于 M中的每一个元素 a，都有 M中一个唯一确定的元素 a与它对应 , 则称 为称 a为 a 在映射 下的 象 ，而 a 称为 a在映射 下的M到 M的一个 映射 ，记作 : 或原象 ，记作 (a) a 或1、定义注 : 设映射 , 集合 , 称之为 M在映射 下的 象 ，通常记作 Im 集合 M 到 M 自身的映射称为 M 的一个 变换 例 4 判断下列 M 到 M 对应法则是否为映射 1） M a, b, c、 M 1, 2, 3, 4 ： (a) 1， (b) 1， (c) 2 ： (a) 1,(b) 2,(c) 3,(c) 4： (b) 2， (c) 4 显然， （ 不是 ） （ 是 ） （ 不是 ）
