1、 第三章 复变函数的积分第 1节 积分的概念1w 复变函数积分理论是复变函数的核心内容，关于复变函数的许多结论都是通过积分来讨论的，更重要的是我们要讨论解析函数积分的性质，并给出解析函数积分的基本定理与基本公式，这些性质是解析函数理论的基础，我们还将得到解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。2w 有向曲线在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：(1) 如果曲线 L 是开口弧段，若规定它的端点 P 为起点 ， Q为终点，则沿曲线 L 从 P 到 Q 的方向为曲线 L的正方向（简称正向），把正向
2、曲线记为 L或 L+. 而由 Q到 P的方向称为 L的负方向（简称负向），负向曲线记为 .3(2) 如果 是简单闭曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向(3) 如果 是复平面上某一个复连通域的边界曲线，则 的正方向这样规定：当人沿曲线 行走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向4复变函数的积分 设在复平面 C上有一条连接 z0及 z两点的简 单曲线 C。设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在 C上的连续函数。其中 u(x,y)及 v(x,y)是 f(z)的实部及虚部 .把曲线 C用分点 z0 ,z1 ,zn-1, ,zn=
3、z分成 n个更小的弧，在这里分点是在曲线 C上按从 z0到 Z的次序 排列的 。如果 是 到 的弧上任意一点，那么考虑和式都 存在 且 唯一 ， 则称此极限为函数记作沿 曲线弧 C的积分 .56分实部与虚部，有或者在这里 分别表示的实部与虚部 。7按照关于实变函数的线积分的结果，当曲线 C上的分点个数无穷增加，而且时，上面的四个式子分别有极限：这时，我们说原和式有极限8这个极限就是函数 f(z)沿曲线 C的积分，因此，我们有9即我们可以把复积分 的计算化为两个二元实变函数的曲线积分为便于记忆公式，可把 理解为 则 上式说明了两个问题：(1) 当 是连续函数，且 L是光滑曲线时，积分 一定存在；(2) 可以通过两个二元实变函数的线积分来计算 .10
