1、概率论 第三节 协方差及相关系数协方差相关系数课堂练习课堂练习 小结 布置作业概率论 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（ X， Y）， 我们除了讨论 X与 Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述 X和 Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的协方差和相关系数概率论 量 E X-E(X)Y-E(Y) 称为随机变量 X和Y的协方差 ,记为 Cov(X,Y) ， 即 Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)一、协方差2.简单性质 Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数Cov(X,Y)=
2、E X-E(X)Y-E(Y) 1.定义概率论 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若 X 与 Y 独立 ， Cov(X,Y)= 0 .3. 计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)即概率论 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)4. 随机变量 和的方差与协方差的关系特别地概率论 协方差的大小在一定程度上反映了 X和 Y相互间的关系，但它还受 X与 Y本身度量单位的影响 . 例如：Cov(kX, k
3、Y)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了 相关系数 .概率论 二 、相关系数为随机变量 X 和 Y 的相关系数 .定义 : 设 D(X)0, D(Y)0, 称在不致引起混淆时 ， 记 为 .概率论 相关系数的性质：证 : 由方差的性质和协方差的定义知 ,对任意实数 b, 有0D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y )令 ，则上式为D(Y- bX)= 由于方差 D(Y)是正的 ,故必有1- 0,所以 | |1。概率论 2. X和 Y独立时， =0， 但其逆不真 .由于当 X和 Y独立时， Cov(X,Y)= 0.故 = 0但由 并不一定能推出 X和 Y 独立 .请看下例 .概率论 ，Cov(X,Y)=0，事实上， X的密度函数例 1 设 X服从 (-1/2, 1/2)内的均匀分布 , 而 Y=cos X,不难求得
