1、第五章第五章 大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理本章主要讨论两个问题 ：1. 多个随机变量的 算术平均值 与其 数学期望 以及 方差 之间的关系。 -大数定理2. 怎样用正态分布对 多个随机变量的和 的分布作近似计算。 -中心极限定理切比雪夫 (Chebyshev)不等式切比雪夫不等式 : 设随机变量 X 数学期望 EX 及方差 DX存在 ，则对于 任何正数 ，下列不等式成立：5.1 切比雪夫不等式切比雪夫不等式或注注 1.上述不等式对离散型随机变量和连续型随机变量均成立。2. 不用知道 X服从哪种分布，只需知道其期望和方差。3. 考虑的范围必须为 以 EX为中心的区域 。4. 概率
2、估计不是很精确。分析： 若 X为离散型随机变量设 X 的概率密度为则证 如果 X为离散型随机变量，则如果 X为连续型随机变量，依概率收敛定义：上一页 下一页 返回例 1 设 X的期望为 a，方差为 ，证明：证证 由 X服从二项分布，知 ：例 3 设电站供电网有 10000盏电灯 ,夜晚每一盏电灯开灯的概率都是 0.7,而假定开关时间彼此独立 ,估计夜晚同时开着的灯数在 6800与 7200之间的概率 .v 解 :令 X表示在夜晚同时开着的灯的数目 ,它服从参数n=10000, p=0.7的二项分布 .若要准确计算 ,应该用贝努里公式 :如果用切贝谢夫不等式估计 :EX=np=100000.7=
3、7000 DX= npq=2100可见 ,虽然有 10000盏灯 ,但是只要有供应 7200盏灯的电力就能够以相当大的概率保证够用 .事实上 ,切贝谢夫不等式的估计只说明概率大于0.95,后面将具体求出这个概率约为 0.99999,切贝谢夫不等式在理论上具有重大意义 ,但估计的精确度不高 .例 4 为了确定事件 A 的概率 , 进行了 10000次重复独立试验 . 利用切比雪夫不等式估计：用事件 A 在 10000次试验中发生的频率作为事件 A 的概率近似值时 , 误差小于 0.01的概率 .解 设事件 A 在 每次试验中发生的概率为 p， 在这 10000次试验中发生了 X 次 , 则因此，所求事件的概率为 5.2 大数定理大数定理切比雪夫大数定律：设独立随机变量 ,则对于任何正数 ，恒有及方差且存在某一常数 K， 使得分别有数学 期望
