1、第一章 随机事件及其概率1.4 事件的独立性 独立试验概型v 1.4 事件的独立性 独立试验概型v 1 两个事件的独立性 v 如前所述，条件概率 P(B|A)和无条件概率 P(B)一般是不相等的，即事件 A的 发 生 对 事件 B的 发 生是有影响的 .v 如果 P(B|A)=P(B)， 则说明 A的发生对事件 B的发生是没有影响的，这时自然认为 A与 B是相互独立的 .v 由概率乘法公式知，如果 P(B|A)=P(B)， 则P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)v 由此，人们引进下面的定义 v 定 义 设 A、 B为 任二事件，如果P(AB)=P(A)P(B)v 则称 A与 B是
2、 相互独立的 .v 由定 义 知，若 A、 B的概率有一个 为 零， 则 A与 B相互独立，v 这 是由于 0 P(AB) P(A)(或 P(B)=0. v 定理 如果 P(A)0， 则 A与 B相互独立的定 义 等价于P(B|A)=P(B)v 证 若 P(B|A)=P(B)， 则由 概率乘法公式得P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)v 反之，若 P(AB)=P(A)P(B)， 则v 定理 如果 A与 B相互独立， 则 A与 Bc， Ac与 B， Ac与 Bc也分 别 相互独立v 证 先 证 A与 Bc相互独立，由 v 知 A与 Bc是 相互独立的 .v 再由 对 称性可知 Ac
3、与 B相互独立 .v 最后，由 Ac与 B相互独立的条件，利用上面 证 明的结 果，立即可得 Ac与 Bc也相互独立 .v 由 前面的结论：若 A、 B的概率有一个 为 零， 则 A与 B相互独立 .v 再由定理 2.7可得若 A、 B的概率有一个 为 1， 则 A与 B相互独立 .v 例 1 将一枚匀 质 的硬 币 投 掷 两次，令 A=“ 第一次出现 正面 ” ， B=“ 第二次出 现 正面 ” ， 验证 事件 A、B是相互独立的 . v 证 样本空间 S为 S=(正，正 )， (正，反 )， (反，正 )， (反，反 ).v 而A=(正，正 )， (正，反 )，B=(正，正 )， (反，正 ).v 故知AB=(正，正 ) .v 例 1 将一枚匀 质 的硬 币 投 掷 两次，令 A=“ 第一次出现 正面 ” ， B=“ 第二次出 现 正面 ” ， 验证 事件 A、B是相互独立的 . v 证 样本空间 S为 v 而v 故知v 由于 试验 是古典概型，故v 由此P(AB)=P(A)P(B)v 所以 A与 B是相互独立的 . v 在 实际问题 中， 对 于两个事件 A， B常常根据它 们的 实际 意 义 来看 它们 彼此是否有影响，从而判断它们 是否独立，而不需要利用定 义 去判断 . v 如果两个事件是独立的，那么两个事件积的概率就可以由这两个事件概率的乘积来确定 .
