1、概率论与数理统计第 三 章多维随机变量第三章 多维随机变量及其分布 v 多维随机变量及其分布函数 v 在前一章中，我 们 所 讨论 的随机 现 象只涉及到一个随机 变 量，但在很多随机 现 象中，往往要涉及到多个随机 变 量 .v 例如，向一个目 标进 行射 击 ，如果只考 虑弹 着点与靶心的距离，那么用一个随机 变 量来描述就可以了；如果要考 虑弹 着点的位置，那么就需要两个随机变 量 (弹 着点的横坐 标 X与 纵 坐 标 Y)来描述 .Oyx(X,Y)xyv 若要研究天气的 变 化，情况就更复 杂 了， 这 要涉及到更多的随机 变 量，如温度、气 压 、 风 向、 风 力、湿度等等 .v
2、 一般来 说 ， 这 些随机 变 量之 间 存在着某种 联 系，因而需要把它 们 作 为 一个整体 (即向量 )来研究 .v 定 义 3.1 若 X1(e),X2(e), ,Xn(e)是定 义 在同一个样 本空 间 S上的 n个随机 变 量， e S， 则 由它 们 构成的一个 n维 向量 (X1(e),X2(e), ,Xn(e)称为 n维随机向量 ，或 n维 随机 变 量 ， 简记为(X1,X2, ,Xn).v 显 然一 维 随机 变 量，即 为 前一章 讨论 的随机 变 量 .v 下面着重 讨论 二 维 随机 变 量的情况， 对 于多个随机变 量的情况，不 难类 推 . v 类 似于一 维
3、 随机 变 量的分布函数，我 们 定 义 二 维随机 变 量的分布函数如下：v 定义 3.2 设 (X,Y)为二维随机变量， x、 y为任意实数，则二元函数F(x,y)=P(X x,Y y)称 为 (X,Y)的 分布函数 ，或称 为 X和 Y的 联 合分布函数 .v 如果将二 维 随机 变 量 (X,Y)， 看成是平面上随机点的坐 标 ，那么 F(x,y)就是二 维 随机点 (X,Y)落在以(x,y)为顶 点的左下方的无 穷 矩形域内的概率 (如 图4.1). v 3.1 二维随机变量及其分布函数 xoy(x,y)(X,Y)(X,Y)(X,Y)F(x,y)图 4.1v 利用分布函数 F(x,y
4、)=P(X x,Y y)， 对 任意的四个 实 数 x1x2， y1y2， 可以求得事件 “ x1X x2， y1Y y2”的概率 为v P(x1X x2,y1Y y2)= F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)v 即v 这 个 结 果可以从 图 3.2直接看出 .xoy(x1,y1)(x2,y2)(x1,y2)(x2,y1)图 3.2v 分布函数具有如下的 性质：v ( )对任意的 实 数 x和 y有0 F(x,y) 1；v ( )对任意的 x1 x2， 任意的 实 数 y， 有F(x1,y) F(x2,y)；v 对任意的 y1 y2， 任意的 实 数 x， 有F(x,y1) F(x,y2)，v 即 F(x,y)对每个分量都是单调不减的；v ( )对任意的 实 数 x和 y有
