1、第四章 随机变量的数字特征v 4.4 大数定律和中心极限定理 v 在前面 的 1.5节概率的统计定义中曾经讲过，一个事件 A发生的频率具有稳定性，即当试验次数 n增大时，频率接近于某个常数 (A的概率 ).v 在 4.1节随机变量 的 数学期望中又讲过，随机变量 X在 n次试验中所取的 n个值的平均值也具有稳定性，且被稳定的那个值就是 X的 数学期望 .v 这里所谓的 “稳定性 ”，或当 n很大时 “接近一个常数 ”等等，都是不确切的说法，只是一种直观的描述而已 .v 初学者常常把它理解为微积分中的变量与极限的关系，这是错误的 .v 因为事件的频率以及随机变量取的 n个值的平均值是随着试验的结
2、果而变的，是随机变量，不是微积分中所描述的变量 .v 那么究竟如何用确切的数学语言来描述频率与概率、平均值与数学期望之间的关系呢？大数定律回答了这个问题 .v 为了讲述大数定律，下面先讲一个重要的不等式，它在实际上和理论上都有重要的应用 .v 4.4.1 切比雪夫 (Tchebysheff)不等式 v 定理 4.5 对 任意 随机变量 X，若它的方差 DX存在，则对任意的 0有 v 成立 .v 证 设 X是一个 连续型随机变量 ， 概率密度为 f(x)，则v 当 X是 离散型随机变量时，只需在上述的证明中把概率密度换成分布列，把积分好换成求和号即可 . v 由于 v 故 v 与 v 等价 .v
3、 式 v 和式 v 都称为 切比雪夫不等式 .v 切比雪夫不等式给出了在随机变量 X的分布未知的情况下，利用 EX、 DX对 X的概率分布 进 行估 计 的一种方法 . v 例如，由 式 v 可以断言，不管 X的分布是什么， 对 于任意的正整数 k都有 v 当 k=3时，有v 由 2.5节例 1知，当 XN( , 2)时，有v 比较上面的两个式子可知，切比雪夫不等式给出的估计比较粗糙；但要注意，切比雪夫不等式只利用了数学期望和方差 . v 例 1设 EX=2， DX=0.4，试用切比雪夫不等式估计P(1X3)?v 解v 例 2设 随机 变 量 X、 Y的数学期望都是 2，方差分别为1和 4，而相关系数为 0.5，则根据切比雪夫不等式估计v 解
