1、概率统计一 .数学期望的定义二 .随机变量的函数的数学期望三 .数学期望的性质四 .常见分布的数学期望数学期望概率统计设 离散型随机变量 X的分布律为 : P( X= xk ) = pk , k=1, 2, 也就是说，离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和 .若正项级数 收敛，定义 11.离散型随机变量的数学期望的和为随机变量 X 的数学期望，记为：则称此级数一 .数学期望的定义概率统计注： 是个 (实 )数。它 形式上 是 X的可能取值的加权平均值； 本质上 体现了 X的真正的平均，故常称 为 X 的均值； 物理上 表示了一个质点系的重心坐标。 的 计算 ：当 X 的可能取值为有限
2、时，则计算有穷和；当 X 的可能取值为无限时，则计算级数的和。若 不绝对收敛，则称 不存在 概率统计例 4.1 某商店在年末大甩 卖 中 进 行有 奖销 售， 摇奖时 从 摇 箱 摇 出的球的可能 颜 色 为 ： 红 、黄、 蓝 、白、黑五种，其 对应 的 奖 金 额 分 别为 ： 10000元、 1000元、 100元、 10元、 1元 .假定 摇 箱内装有很多球，其中 红 、黄、 蓝 、白、黑的比例分 别为 ：0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%, 求每次 摇奖摇 出的奖 金 额 X的数学期望 . 概率统计解 每次摇奖摇出的奖金额 X是一个随机变量，易知它的分布律为X 1
3、0000 1000 100 10 1pk 0.0001 0.0015 0.0134 0.1 0.885因此，E（ X） =100000.0001+10000.0015+1000.0134+100.1+10.885=5.725.可 见 ，平均起来每次 摇奖 的 奖 金 额 不足 6元 .这 个 值对 商店作 计 划 预 算 时 是很重要的 . 概率统计例 4.4 设 随机 变 量 X服从柯西（ Cauchy）分布，其概率密度 为 试证 E（ X）不存在 .故 E（ X）不存在 .证 由于 概率统计连续型随机变量的数学期望的引出设 X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 在数轴上取很密的分
4、点 x0 x1 x2 ，则 X 落在小区间 xi , xi+1) 的概率是 ：小区间 xi , xi+1 )阴影面积近似为2.连续性随机变量的数学期望概率统计由于 xi 与 xi+1 很接近 , 所以区间 xi , xi+1 )中的值可以用 xi 来近似代替 .这正是的 渐近和式 .变量 近似 ，该离散型随机变量因此 X 与以概率 取值 xi 的离散型随机的数学期望为：阴影面积近似为小区间 xi , xi+1 )注意到：概率统计由此启发引进如下定义 2.设 连续型随机变量 X的概率密度函数为 f (x)，若积分为连续型随机变量 X 的数学期望，记为：也就是说，连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分 .定义 2收敛，则称此 积分的值概率统计二 .随机变量的函数的数学期望定理 4.1 设 Y是随机变量 X的函数，即 Y=g(X),g(x)是连续函数。
