1、6.2 环与域n 环的定义与实例n 特殊的环 交换环 含幺环 无零因子环 整环 域 1环的定义定义 设 是代数系统， +和 是二元运算 . 如果满足以下条件 : （ 1） 构成交换群 （ 2） 构成半群 （ 3） 运算关于 +运算适合分配律则称 是一个 环 .2环中的术语通常称 +运算为环中的 加法 ， 运算为环中的 乘法 .环中加法单位元记作 0乘法单位元（如果存在）记作 1. 对任何元素 x，称 x 的加法逆元为 负元 ，记作 x. 若 x 存在乘法逆元的话，则称之为 逆元 ，记作 x1. 3环的实例(1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为 整数环 Z，
2、有理数环 Q， 实数环 R 和 复数环 C.(2) n(n2)阶实矩阵的集合 Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为 n阶实矩阵环 . (3) 集合的幂集 P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环 .(4) 设 Zn 0,1,.,n 1， 和 分别表示模 n的加法和乘法，则 构成环，称为 模 n的整数环 . 4特殊的环定义 设 是环， (1) 若环中乘法 适合交换律，则称 R是 交换环 .(2) 若环中乘法 存在单位元，则称 R是 含幺环 .(3) 若 a, b R， a b=0 a=0 b=0，则称 R是无零因子环 .(4) 若 R 既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称 R 是 整
3、环 .(5) 若 R为整环， |R|1, 且 aR*=R0，a1R, 则称 R 为 域 . 5零因子的定义与存在条件设 是环，若存在 ab =0, 且 a0, b0, 称 a 为左零因子， b为右零因子，环 R 不是无零因子环 . 实例 ，其中 23=0， 2 和 3 都是零因子 . 无零因子环的条件：可以证明： ab = 0 a=0 b=0 消去律 6特殊环的实例(1)整数环 Z、有理数环 Q、实数环 R、复数环 C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环 . 其中除 Z之外都是域(2)令 2Z= 2z | z Z ，则 构成交换环和无零因子环 . 但不是含幺环和整环 .(3)设 nZ, n2,
4、 则 n 阶实矩阵的集合 Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环 .(4)构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环 . 注意：对于一般的 n, Zn是整环且是域 n是素数 . 7例题判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域 . (1) A=a+bi |a,bQ, i2= 1, 运算为复数加法和乘法.(2) A=2z+1 | zZ, 运算为普通加法和乘法(3) A=2z | zZ, 运算为普通加法和乘法(4) A= x | x0 xZ, 运算为普通加法和乘法 .(5) ，运算为普通加法和乘法解 (2), (4), (5) 不是环 . 为什
5、么？ (1) 是环 , 是整环 , 也是域 . (3) 是环 , 不是整环和域 . 8环的性质定理 设 是环，则 (1) a R， a0 = 0a = 0(2) a,b R， (a)b = a(b) = ab(3) a,b R， (a)(b) = ab(4) a,b,c R， a(bc) = abac，(bc)a = baca9环中的运算例 在环中计算 (a+b)3, (ab)2解 (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (ab)2 = (ab)(ab)=a2baab+b2 10
