1、第十章 群与环主要内容l 群的定义与性质l 子群与生成子群l 循环群与置换群2l 半群、独异点与群的定义l 半群、独异点、群的实例l 群中的术语l 群的基本性质10.1 群的定义与性质3半群、独异点与群的定义定义 10.1(1) 设 V=是代数系统， 为二元运算，如果 运算是可结合的，则称 V为 半群 .(2) 设 V=是半群，若 e S是关于 运算的单位元，则称 V是 幺半群 ，也叫做 独异点 . 有时也将独异点 V 记作 V=. (3) 设 V=是独异点， eS关于 运算的单位元，若aS， a1S，则称 V是 群 . 通常将群记作 G. 注意： 在半群、独异点和群中，由于只有一个二元运算，
2、在不发生混淆的情况下，经常将算符省去，例如将 xy写作xy 。 下文将采用这种简略表示。4实例例 10.1 (1) ,都是半群， +是普通加法 . 这些半群中除 外都是独异点 ,其中,都是群，分别叫做 整数加群、有理数加群、实数加群和复数加群(2) 设 n是大于 1的正整数， 和 都是半群，也都是独异点，其中 +和 分别表示矩阵加法和矩阵乘法， 是群， 不是群(3) 为半群，也是独异点和群，其中 为集合对称差运算(4) 为半群，也是独异点和群，其中 Zn=0,1, n1， 为模 n加法 (5) 为半群，也是独异点，其中 为函数的复合运算(6) 为半群，其中 R*为非零实数集合， 运算定义如下：
3、 x, yR*, xy=y,这个系统不构成独异点和群，因为它没有单位元5例 10.2 设 G= e, a, b, c ， G上的运算由下表给出，称为 Klein四元群e a b ceabce a b ca e c bb c e ac b a e 实例特征：1. G中的单位元是 e2. G中的运算 满足交换律2. 每个元素 的逆元 就是它自己3. a, b, c中任何两个元素运算结果都等于另一个元素6有关群的术语定义 10.2 (1) 若群 G是有穷集，则称 G是 有限群 ，否则称为无限群 . 群 G 的基数称为群 G 的 阶 ，有限群 G的阶记作 |G|. (2) 只含单位元的群称为 平凡群
4、. (3) 若群 G中的二元运算是可交换的，则称 G为 交换群 或 阿贝尔 (Abel) 群 .7定义 10.3 设 G是群， a G， n Z，则 a 的 n次幂群中元素的幂群中元素可以定义负整数次幂 . 元素的幂可推广到半群和独异点。但是幂指数在半群中只能取正整数 Z+，在独异点中只能取 N，只有在群中可以取负整数 Z-在 中有 23 = (2-1)3 = 13 = 111 = 0在 中有(2)3 = (2)1)3 = 23 = 2+2+2 = 6 35=？元素的阶定义 10.4 设 G是群， a G，使得等式 ak=e 成立的最小正整数k 称为 a 的阶，记作 |a|=k，称 a 为 k
5、 阶元 . 若不存在这样的正整数 k，则称 a 为 无限阶元 .例如，在 中，2和 4是 3阶元，3是 2阶元，1和 5是 6阶元，0是 1阶元 . 在 中， 0是 1阶元，其它整数的阶都不存在 . Klein四元群中 e为 1阶元，其 它 元素都是 2阶元群的性质定理 10.1 设 G 为群，则 G中的幂运算满足： (1) a G， (a1)1=a(2) a,b G， (ab)1=b1a1(3) a G， anam = an+m， n, m Z(4) a G， (an)m = anm， n, m Z (5) 若 G为交换群，则 (ab)n = anbn.定理 10.2 G为群，则 G中适合消
6、去律，即对任意 a,b,c G 有(1) 若 ab = ac，则 b = c.(2) 若 ba = ca，则 b = c. 定理 10.3 G为群， a G且 |a| = r. 设 k是整数，则 (1) ak = e当且仅当 r | k (2 )|a1| = |a|1010.2 子群与群的陪集分解定义 10.5 设 G是群， H是 G的非空子集，(1) 如果 H关于 G中的运算构成群，则称 H是 G的 子群 , 记作HG. (2) 若 H是 G的子群，且 HG，则称 H是 G的 真子群 ，记作H 的子群 . 当 n1时 ,nZ是 Z的真子群 .对任何群 G都存在子群 . G和 e都是 G的子群，称为 G的 平凡子群 .
