1、第十章 动态规划应用举例1第一节 一维资源分配问题一、 一维资源分配问题基本模型及求解方法1. 模型设有某种原料，总数量为 a， 用于生产 n中产品。若分配数量 xi用于生产第 i 种产品，其收益为 gi(xi)。 问应如何分配，才能使生产 n种产品的总收入最大？此问题可写成静态规划问题：2在应用动态规划处理这类 “静态规划 ”问题时，通常以把资源分配给一个或几个使用者的过程作为一个阶段，把问题中的变量 xi作为决策变量，将累计的量或随递推过程变化的量选为状态变量。当 gi(xi)都是线性函数时，它是一个线性规划问题；当 gi(xi)不是线性函数时，它是一个非线性规划问题。但当 n较大时，具体
2、求解是比较麻烦的。然而，由于这类问题的特殊结构，可以将它看成一个多阶段决策问题，并利用动态规划的递推关系来解。32. 求解方法设状态变量 sk表示分配用于生产第 k种产品至第 n产品的原料数量。则 s1 =a， 可用逆推法求解。设决策变量 uk表示分配给生产第 k种产品的原料数量，即: uk = xk状态转移方程：允许决策集合：把该分配问题看成是对资源总量的消耗过程。4令最优值函数 fk(sk)表示以数量为 sk的原料分配给第 k种产品至第 n种产品所得到的最大总收入。递推关系式为：利用这个递推关系式进行逐段计算，最后求得最大总收入为 f1(a)5例 1 某公司有 9个推销员在全国三个不同市场
3、推销货物，这三个市场里推销人员数与收益的关系如下表，试作出使总收益最大的分配方案 。解：设分配人员的顺序为市场 1, 2, 3， 已知 s1=9， 用逆推法。设 sk 为第 k阶段尚未分配的人员数， xk 为第 k阶段分配的推销人员数。则 状态转移方程为 sk 1=sk xk目标函数为二、离散的 一维资源分配问题6第三阶段：给第三市场分配s3 有 0 9种可能，第三阶段最优决策表如下 ：7第二阶段：给第二市场分配s2 有 09种可能，第二阶段最优决策表如下 ：状态转移方程： s3=s2 x28第一阶段：给第一市场分配由边界条件 s1=9， 第一阶段最优决策表如下 ：得决策过程： x1*=2,
4、x2*=0, x3*=7, f1*=218即 市场 1 分配 2人，市场 2 不分配 ，市场 3 分配 7人，最大收益为 218万元。状态转移方程： s2=s1 x19三、连续的 一维资源分配问题1. 问题的提出在资源分配问题中，还有一类要考虑资源回收利用问题，这里决策变量为连续值，故称为资源连续分配问题。这类问题一般描述如下：设有数量为 s1的某种资源，可投入 A和 B两种生产。第一年若以数量 u1投入生产 A， 剩下的 量 s1-u1就投入生产 B，则可得收入为 g(u1)+h(s1-u1)， 其中 g(u1)和 h(u1)为已知函数，且g(0)= h(0)=0 。这种资源在投入生产 A、 B后，年终还可回收再投入生产。设年回收率分别为 0a1和 0b1， 则在第一年生产后，回收的资源量合计 为 s2=au1+b(s1-u1)。第二年再将资源数量 s2按 u2和 s2-u2分别投入 A、 B两种生产，如此继续 n年，试问：应当如何决定每年投入 A生产的资源量 u1， u2， ， un， 才能使总收入最大？ 10
