1、其他 对 策模型姓名专业7.1 阵 地 对 策7.1 阵 地 对 策阵 地 对 策对策论中所谓局中人的一个策略是指局中人的 一个完整地行动方案 ，例如赛马的例子中，出赛马的一个次序是一个完整地行动方案。但是有的对策现象中完整地行动方案是不容易说清楚的，例如下象棋，要走很多步，每步又有很多可供选择的走法，那么一个由始至终的行动方案怎么说得清楚呢？但是这种类型的对策现象有它的特点，即它规定了各步该谁走，而走的局中人又有多少种走法可选择，另外走的局中人走时是否能知道别的局中人在他此步之前是怎么走的信息等等。因此根据此类对策现象的特点来形成数学模型也是对策论的工作之一，由于这类对策现象是一步一步走的，
2、所以给它起个名字叫 “ 阵地对策 ” 。7.1 阵 地 对 策特点假如给局中人编上号码 1,2,n则每步上都规定了是哪个局中人的步，对于不是局中人的步而是机遇步，我们规定这种步是 局中人 ”0 ” 的步，那么每一步都有一个数与之对应。而每一步上都是可供选择的路（即走法）的集合。每一步都指出能知道什么信息。最后在各路的终点（即无择路可走出去的点）上规定了各局中人的 “ 得失 ” 。所以这样的对策可用树状图来表达。即：（ 1） 一 棵 定向 的树， 树根 表示第一步，其后各分叉点表示后继各步。（ 2）每个分叉点上所有枝条的个数，即为该步 择路 的个数。（ 3）树的各个分叉点上都给定 0,1,n中一
3、个数。即规定在这点上是哪个局中人的步（带数 “ 0” 的步即为机遇步）。（ 4）带 数 ”0 ” 的分叉点上，如果它有 k个枝条，则在这个枝条上规定了一个概率分布，即给出 k个数 7.1 阵 地 对 策特点（ 5）诸分叉点全体组成的点集有一个划分，它把一切分叉点完全无遗地分在互斥的子集（称为信息集）内。这些子集满足下列假设：（ i）属于同一信息集的一切分叉点都是属于同一个局中人的步。（ ii）同一信息集的各个分叉点有相同数目的择路。（ iii）带数 “ 0” 的分叉点所在的信息集只能有这一个分叉点。（ 6）这棵树的每一个树梢上都定义有 n个实数 F1,F2,Fn 分别表示局中人 1,2,n的
4、“ 得失 ” 。7.1 阵 地 对 策例 14 猜数 对 策局中人甲秘密地选定 1,2,3三个数之一。局中人乙猜甲所选的数，并且说出他所猜的是什么数，每一次局中人乙说出他所猜的数后，甲按照实际情况回答 “ 太高 ” ，“ 太低 ” 或 “ 正确 ” 。对策继续进行到乙回答出为止。甲的支付数等于乙回答出正确答案所需要的次数。显然局中人甲的策略是选择数 1,2,或 3。局中人乙的策略可以用一组数（ G;H,L）来表示。其中 G是第一次猜的数， H是局中人乙听到甲回答 “ 太高 ” 后第二次猜的数。 L是局中人乙听到甲回答 “ 太低 ” 后第二次猜的数。很清楚，最多猜两次对策就结束了。因此局中人乙有
5、五个策略（ 1;0,2） ,（ 1;0,3） ,（ 2;1,3） ,（ 3;1,0） ,（ 3;2,0）其中 0表示这种情况不存在。局中人甲得到的支付数，是局中人乙直到听局中人甲说 “ 正确 ” 时共回答的次数。支付矩阵列出如下：7.1 阵 地 对 策猜数 对 策也是一个 阵 地 对 策，可用 图 4-1的 树 状 图 来描写：7.2 连续对 策7.2 连续对 策在一个有限对策里，每个局中人的策略集是有限的，即策略的总数可以很大，但毕竟是一个有限数。可是许多军事和经济的对策往往涉及无穷多个策略的问题。例如在一海域里潜行的潜水艇，为躲过敌方飞机的侦察，该如何选择出水换气的地点的对策问题。其策略数
6、目就是无穷多个。具有无穷多个策略的对策称为无限对策。最简单的一种是被称为连续对策。 连续对策在其最简单的形式下可描述如下：局中人甲在 0,1闭区间中选择一个点 X，同时局中人乙在 0,1闭区间中选择一个点 Y，而在 局势 之下，局中人甲得到支付 为 。假定对策是零和的，则局中人乙得到的支付 为 。并且假设 支付函数 对于 每个 存在 ，而对于 每个也 存在，所以对局中人甲来说，存在一个策略，使他 至少得到 。同样对局中人乙来说，存在一个策略使他至少得到 容易 证明下式成立：7.2 连续对 策如果上式的等号成立，那么设 策略 X0， Y0使 对于 一切 Y 成立 对于 一切 X成立。则称 X0是 局中人甲的最优纯策略， Y0是局中人乙的最优纯策略。（ X0,Y0）称为此连续对策的鞍点。如果上式的等号不成立。就没有最优纯策略。于是和有限两人零和对策中引入 混合策略（即是有限集上的概率分布函数）的 概念一样，我们引无限集上的概率分布函数为无限对策中的混合策略。即连续对策的混合策略是一个从 0,1闭区间中选择一个不大于 X的数的随机过程。当甲取混合策略即某个分布函数 F(x)，而乙取混合策略 G(y)时，甲的期望支付是斯蒂尔杰积分：类似于矩阵对策当及
