1、极大值原理 (1/4)第 4 章 极大值原理q 前一 章 讨论的最优控制问题都基于 以下 基本假定 : 控制量 u(t)的取值范围 U不受任何限制 ,即控制域 U充满整个 r维 控制空间 ,或者 U是一个开集。 即控制量 u(t)受 等式条件 约束但是 ,大多数情况下控制量总是受限制的。例如 ,控制量可能受如下大小限制|ui(t)|a i=1,2 ,r式中 , a 为 已知 常数。极大值原理 (2/4)q 上述约束条件即相当于容许控制空间 U是一个超方体。 甚至 , 有些实际控制问题的控制量为某一孤立点集。例如 , 继电器控制系统的控制输入限制为ui(t) =a i=1, 2, , rq 一般
2、情况下 , 可 将控制量所受的约束用不等式来表示Mi(u(t),t)0, i=1,2, 当控制变量 u(t)受 不等式约束条件 限制时 , 古典变分法就无能为力了。 最优控制往往需要在闭集的边界上取值。 这就要求人们去探索新的理论和方法。极大值原理 (3/4)q 应用古典变分法的另一个限制条件是要求函数 L(x,u,t), f(x,u,t), S(x(tf),tf) 对 其自变量的连续可微性 , 特别是要求H/u=0存在。 因此 , 对于有较大实际意义的性能指标泛函就无能为力了。 所以 ,类似消耗燃料最小这类常见最优控制就无法用古典变分法来解决。极大值原理 (4/4)q 鉴于古典变分法的应用条
3、件失之过严 ,引起了不少数学界和控制界学者的关注。 贝尔曼的动态规划 和 庞特里亚金的极大值原理 是较为成功的 ,应用很广泛 ,成为解决最优控制问题的有效工具。 本节主要介绍极大值原理的结论及其启发性证明。 讲授内容为 自由末端的极大值原理 极大值原理的证明 极大值原理的几种具体形式 约束条件的处理自由末端的极大值原理 (1/8)4.1 自由末端的极大值原理q 最优控制问题的具体形式是多种多样的 ,在第 2章的讨论中可知 ,3种泛函问题 (拉格朗日问题、波尔扎问题和麦耶尔问题 )的表达形式可以互相转换。 这里，研究泛函为定常的末值型性能指标的最优控制问题 (麦耶尔问题 ),然后将结论 逐步推广
4、 至其他最优控制问题。 下面 ,就 定常的末值型性能指标 、 末态自由 的控制问题来叙述极大值原理。自由末端的极大值原理 (2/8) 定理 7-9q 定理 9(极大值原理 ) 设 u(t)U, tt0,tf, 是一容许控制。 指定的 末值 型性能指标泛函为Ju()=S(x(tf), 式中 ,x(t)是定常的被控系统相应于控制量 u(t)的状态轨线 ,tf为未知的末态时刻。 设使该性能指标泛函极小的最优控制函数为 u*(t)、最优状态轨线为 x*(t)。 则必存在不恒为零的 n维 向量函数 (t),使得1) (t)是方程自由末端的极大值原理 (3/8)满足2) 边界条件 的解 , 其中哈密顿函数
5、为3)则有即自由末端的极大值原理 (4/8)4) 沿最优轨线哈密顿函数应满足 q 下面先对上述极大值原理的涵义作简单的解释 ,再给出该定理的启发性证明。自由末端的极大值原理 (5/8)1) 容许控制条件的放宽。 古典变分法应用于最优控制问题 ,要求控制域 U=Rr,即控制域 U充满整个 r维控制空间 。 然后 ,从控制量的变分 u(t)的任意性出发 ,导出极值条件 H/u=0。 这一条件是非常严格的。 其一 ,它要求哈密顿函数 H对控制量 u(t)连续可微 ; 其二 ,它要求控制量的变分 u(t)具有任意性 , 即控制量 u(t)不受限制 , 或仅在受等式约束条件限制的开集中取值。自由末端的极大值原理 (6/8)2) 定理 9中的式 (93)和 (94)同样称为 协态方程 和 横截条件,其相应求解方法与基于古典变分法的最优控制求解方法类似。 变分法的极值条件是一种解析形式 ,而极大值原理的极值求解条件 (96)是一种 定义形式 ,不需 要 哈密顿函数 H对控制量 u(t)的可微性加以约束 ,而且对于通常的对 u(t)的约束都是适用的 ,v 例如 ,u(t) 受不等式约束条件约束 , 即在闭集中取值。
