概率论与数理统计习题详解.doc

1、一、 第三章 习题详解： 3.1 设二维随机向量 ( , )XY 的分布函数为 : 1 2 2 2 , 0 , 0 ,( , )0,x y x y xyF x y 其 他求 1 2 , 3 5P X Y . 解： 因为 2 5 7( 2 , 5 ) 1 2 2 2F ， 651 2221),1( F 532 2221)3,2( F ， 431 2221),1( F 所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21( FFFFYXP 7 6 5 4 7332 2 2 2 2 1 2 8 3.2 盒中装有 3个黑球 , 2个白球 . 现从中任取 4个球 , 用 X表示取到的黑球的个数 ,

2、 用 Y表示取到的白球的个数 , 求 (X , Y ) 的概率分布 . 解： 因为 X + Y = 4， 所以 (X,Y)的可能取值为 (2,2),(3,1) 且 0)1,2( YXP ， 6.053)2,2( 452223 C CCYXP4.052)1,3( 451233 C CCYXP， 0)2,3( YXP 故 (X,Y)的概率分布为 XY 1 2 2 0 0.6 3 0.4 0 3.3 将一枚均匀的硬币抛掷 3次 , 用 X表示在 3次中出现正面的次数 , 用 Y表示 3次中出 现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求 (X , Y ) 的概率分布 . 解： 因为 |32|)3(| X

3、XXY ，又 X 的可能取值为 0,1,2,3 所以 (X,Y)的可能取值为 (0,3),(1,1), (2,1),(3,3) 且 81)21()3,0( 3 YXP ， 83)21()21()1,1 2113 CYXP83)21()21()1,2( 1223 CYXP， 81)21()3,3( YXP 故 (X,Y)的概率分布为 XY 1 3 0 0 1/8 1 3/8 0 2 3/8 0 3 0 1/8 3.4 设二维随机向量 ( , )XY 的概率密度函数为 : ( 6 ) , 0 1 , 0 2 ,( , ) 0,a x y x yf x y 其 他(1) 确定常数 a ; (2) 求

4、 0 .5, 1 .5P X Y (3) 求 ( , ) P X Y D ,这里 D 是由 0, 0, 1x y x y 这三条直线所围成的三角形区域 . 解： (1)因为 d x d yyxad x d yyxf 10 20 )6(),(dxxxadxyxa 10 2210 202 )4()6(2)6(21 adxxa 9)5(2 10 由 1),( d xd yyxf，得 9a=1，故 a=1/9. (2) d x d yyxYXP 5.005.10 )6(91)5.1,5.0(dxxdxyyx 5.005.00 5.102 89)6(239121)6(91 125)687(5.00 dx

5、x (3) 11001( , ) ( , ) ( 6 )9xDP X Y D f x y d x d y d x x y d y 278)1211(18121)6(91 10 210102 dxxxdxyyx x 3.5 设二维随机向量 ( , )XY 的概率密度函数为 : ( 2 )2 , 0 , 0 ,( , )0,xye x yf x y 其 他(1) 求分布函数 ( , )Fxy ; (2) 求 P Y X 解： (1) 求分布函数 ( , )Fxy ; 当 0, 0xy，( 2 ) 2 20 0 0 0( , ) ( , ) 2 2 ( 1 ) ( 1 )y x y x x yu v

6、 u v x yF x y f u v d u d v e d u d v e d u e d v e e 其他情形，由于 ( , )f xy =0，显然有 ( , )Fxy =0。综合起来，有 2( 1 ) ( 1 ) , 0 , 0 ,( , )0,xye e x yF x y 其 他(2) 求 P Y X ( 2 ) 200330 2 211033x y y xyyyyP X Y d y e d x e d y e d xe d y e 3.6 向一个无限平 面靶射击 , 设命中点 ( , )XY 的概率密度函数为 2 2 21( , ) , , ,(1 )f x y x yxy 求命中

7、点与靶心 (坐标原点 ) 的距离不超过 a 的概率 . 解： drrrdd x d yyxaYXP aayx 20 0 22222222 )1()1( 1)( 22222202 11 111 12112 aaara 3.7 设二维随机向量 ( , )XY 的概率分布如下表所示 , 求 X 和 Y 的边缘概率分布 . XY 0 2 5 1 0.15 0.25 0.35 3 0.05 0.18 0.02 解：因为 75.035.025.015.0)1( XP 25.002.018.005.0)3( XP 所以， X 的边缘分布为 X 1 3 P 0.75 0.25 因为 20.005.015.0)

8、0( YP 43.018.025.0)2( YP 37.002.035.0)5( YP 所以， Y 的边缘分布为 Y 0 2 5 P 0.20 0.43 0.37 3.8 设二维随机向量 ( , )XY 的概率 密度函数 为 23 , 0 2 , 0 1 ,( , ) 20,x y x yf x y 其 他求边缘概率密度 ( ), ( )XYf x f y . 解：因为，当 20 x 时，22123),()(103102 xxydyxydyyxfxf X ；其他情形，显然 ( ) 0.Xfx 所以， X 的边缘分布密度为 其他0 202/)( xxxf X又因为，当 10 y 时， 22022

9、202 34323),()( yyxdxxydxyxfyf Y 其他情形，显 然 ( ) 0.Yfy 所以， Y 的边缘分布密度为 其他0 103)( 2 yyyf Y 3.9 设二维随机向量 ( , )XY 的概率 密度函数为 4.8 ( 2 ) , 0 1 , 0 ,( , ) 0, y x x y xf x y 其 他求边缘概率密度 ( ), ( )XYf x f y . 解， 积分区域显然为三角形区域 ，当 01x时 ， 0 yx， 因此2200( ) ( , ) 4 . 8 ( 2 ) 2 . 4 ( 2 ) 2 . 4 ( 2 )x xXf x f x y d y y x d y

10、x y x x ； 其他情形，显然 ( ) 0.Xfx 所以， X 的边缘分布密度为 22.4 ( 2 ) 0 1()0X x x xfx 其 他同理，当 01y时， 1,yx 因此1 122( ) ( , ) 4 . 8 ( 2 ) 2 . 4 ( 4 ) 2 . 4 ( 3 4 )Y yyf y f x y d x y x d x y x x y y y 其他情形，显然 ( ) 0.Yfy 所以， Y 的边缘分布密度为 22 .4 ( 3 4 ) 0 1()0Y y y y yfy 其 他3.10 设二维随机向量 ( , )XY 的概率 密度函数为 2,( , )0,c x y xf x

11、y 其 他(1)确定常数 c 的值 . (2)求边缘概率密度 ( ), ( )XYf x f y . 解： (1)因为 dycdxd x d yyxf xx 10 2),(16)32()( 1032102 cxxcdxxxc 所以 c = 6. (2) 因为，当 10 x 时， )(6),()( 22 xxdycdyyxfxfxxX 所以， X 的边缘分布密度为 其他0 10)(6)( 2 xxxxf X 又因为，当 10 y 时， )(66),()( yydxdxyxfyf yyY 所以， Y 的边缘分布密度为 其他0 10)(6)( yyyyfY3.11 求习题 3.7 中的条件概率分布

12、. 解：由 T3.7 知， X、 Y 的边缘分布分别是 X 1 3 Y 0 2 5 P 0.75 0.25 P 0.20 0.43 0.37 (1)当 X=1 时， Y 的条件分布为 5175.0 15.0)1|0( XYP 3175.0 25.0)1|2( XYP 15775.0 35.0)1|2( XYP 即 Y 0 2 5 P 1/5 1/3 7/15 (2)当 X=3 时， Y 的条件分布为 5125.0 05.0)3|0( XYP 251825.0 18.0)3|2( XYP 25225.0 02.0)1|2( XYP 即 Y 0 2 5 P 1/5 18/25 2/25 (3)当

13、Y=0 时， X 的条件分布为 4320.0 15.0)0|1( YXP 4120.0 05.0)0|3( YXP 即 X 1 3 P 3/4 1/4 (4)当 Y=2 时， X 的条件分布为 5 8 1.043.0 25.0)2|1( YXP 4 1 9.043.0 18.0)2|3( YXP 即 X 1 3 P 0.581 0.419 (5)当 Y=5 时， X 的条件分布为 9 4 6.037.0 35.0)5|1( YXP 0 5 4.037.0 02.0)5|3( YXP 即 X 1 3 P 0.946 0.054 3.12 设 X 在区间 (0,1) 上随机地取值 , 当观察到 X

14、 = x(0 0,y0，都有 )()(),( yfxfyxf YX ,所以， X 与 Y 是相互独立的 . 3.18 设二维随机向量 ( , )XY 的 分布函数为 ()1 , 0 , 0 ,( , )0,x y x ye e e x yF x y 其 他讨论 ,XY的独立性 . 解：因为 )0(1),(lim)( xeyxFxF xyX)0(1),(lim)( yeyxFyF yxY由于 )0,0(),(1)1)(1()()( )( yxyxFeeeeeyFxF yxyxyxYX 所以， X 与 Y 是相互独立的。 3.19 设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量 , 并且均服从区间 (0

15、, 1) 上的均匀分布 , 求 X+Y 的概率密度函数 . 解： 由于 X 与 Y 均服从区间 (0, 1) 上的均匀分布 ，故 X 与 Y 的边缘 密度函数 分别为： 1 0 1() 0Xxfx 其 他， 1 0 1()0Y yfy 其 他记 Z X Y,由于 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量 ,根据书中 72 页（ 3.7.3）式 ,Z 的 概率密度函数 可以写为 ( ) ( ) ( )Z X Yf z f x f z x d x 当 01z时 ,若 0 xz， 则0( ) 1zZf z dx z； 若 0x 或 xz ，被积函数为 0，此时 显然有 ( ) 0Zfz . 当 12z时， 若 11zx ,则 11( ) 1 2Z zf z d x z ，若 1xz或 1x ，被积函数为 0，此时显然有 ( ) 0Zfz ； z 的 其他情形 ,显然有 ( ) ( ) ( )Z X Yf z f x f z x d x=0. 综合起来，有 , 0 1,( ) 2 , 1 20,Zzzf z z z 其 他此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解 ,需要注意的一点是 , 当 12z 时，积分区域要分成两个部分 .