1、传感器与检测技术（胡向东，第 2 版）习题解答 王涛 第 1 章 概述 1.1 什么是传感器？ 答：传感器是能够感受规定的被测量并按照一定规律转换成可用输出信号的器件和装置，通常由敏感元件和转换元件组成。 1.2 传感器的共性是什么？ 答：传感器的共性就是利用物理定律或物质的物理、化学或生物特性，将非电量（如位移、速度、加速度、力等）输入转换成电量（电压、电流、频率、电荷、电容、电阻等）输出。 1.3 传感器一般由哪几部分组成？ 答：传感器的基本组成分为敏感元件和转换元件两部分，分别完成检测和转换两个基本功能。 另外还需要信号调理与转换电路，辅助电源。 1.4 传感器是如何分类的？ 答：传感器
2、可按输入量、输出量、工作原理、基本效应、能量变换关系以及所蕴含的技术特征等分类，其中按输入量和工作原理的分类方式应用较为普遍。 按传感器的输入量（即被测参数）进行分类 按输入量分类的传感器以被测物理量命名，如位移传感器、速度传感器、温度传感器、湿度传感器、压力传感器等。 按传感器的工作原理进行分类 根据传感器的工作原理（物理定律、物理效应、半导体理论、化学原理等），可以分为电阻式传感器、 电感式传感器、电容式传感器、压电式传感器、磁敏式传感器、热电式传感器、光电式传感器等。 按传感器的基本效应进行分类 根据传感器敏感元件所蕴含的基本效应，可以将传感器分为物理传感器、化学传感器和生物传感器。 1
3、.6 改善传感器性能的技术途径有哪些？ 答： 差动技术； 平均技术； 补偿与修正技术； 屏蔽、隔离与干扰抑制； 稳定性处理。 第 2 章 传感器的基本特性 2.1 什么是传感器的静态特性？描述传感器静态特性的主要指标有哪些？ 答：传感器的静态特性是它在稳态信号作用下的输入、输出关系。静态特性 所描述的传感器的输入 -输出关系中不含时间变量。 衡量传感器静态特性的主要指标是线性度、灵敏度、分辨率、迟滞、重复性和漂移。 2.3 利用压力传感器所得测试数据如下表所示，计算非线性误差、迟滞和重复性误差。设压力为 0MPa 时输出为 0mV，压力为 0.12MPa 时输出最大且为 16.50mV。 压力
4、 /MPa 输出值 /mV 第一循环 第二循环 第三循环 被测量 敏感元件 信号调节转换电路 辅助电源 传感元件 正行程 反行程 正行程 反行程 正行程 反行程 0.02 0.56 0.66 0.61 0.68 0.64 0.69 0.04 3.96 4.06 3.99 4.09 4.03 4.11 0.06 7.40 7.49 7.43 7.53 7.45 7.52 0.08 10.88 10.95 10.89 10.93 10.94 10.99 0.10 14.42 14.42 14.47 14.47 14.46 14.46 解：求非线性误差，首先要求实际特性曲线与拟合直线之间的最大误差，
5、拟合直线在输入量变化不大的条件下，可以用切线或割线拟合、过零旋转拟合、端点平移拟合等来近似地代表实际曲线的一段（多数情况下是用最小二乘法来求出拟合直线）。 （ 1）端点线性 度： 设拟合直线为： y=kx+b, 根据两个端点（ 0， 0）和（ 0.12， 16.50），则拟合直线斜率： 21211 6 . 5 0 0 1 3 7 . 50 . 1 2 0yyk xx 137.5*0.12+b=16.50 b=0 端点拟合直线为 y=137.5x 压力 /MPa 输出值 /mV 第一循环 第二循环 第三循环 正行程 反行程 正行程 反行程 正行程 反行程 0.022.75 0.56 0.66 0
6、.61 0.68 0.64 0.69 0.045.50 3.96 4.06 3.99 4.09 4.03 4.11 0.068.25 7.40 7.49 7.43 7.53 7.45 7.52 0.0811.0 10.88 10.95 10.89 10.93 10.94 10.99 0.1013.75 14.42 14.42 14.47 14.47 14.46 14.46 在 0.02MPa 处非线性误差最大 （ 2）最小二乘线性度： 设拟合直线方程为 01y a ax ， 误差方程 01()i i i i iy y y a a x v 令 10xa ， 21xa 由已知输入输出数据，根据最小
7、二乘法，有： 直接测量值矩阵0.644.047.4710.9314.45L，系数矩阵1 0.021 0.041 0.061 0.081 0.10A，被测量估计值矩阵 01aX a 由最小二乘法： A AX A L ，有 1 0 .0 21 0 .0 41 1 1 1 1 5 0 .3 0 1 0 .0 60 .0 2 0 .0 4 0 .0 6 0 .0 8 0 .1 0 0 .3 0 0 .0 2 21 0 .0 81 0 .1 0AA 0 .6 44 .0 41 1 1 1 1 3 7 .5 3 7 .4 70 .0 2 0 .0 4 0 .0 6 0 .0 8 0 .1 0 2 .9 4
8、 21 0 .9 31 4 .4 5AL 0.0 2 0AA 1 11 1221 22 0.02 2 0.30 1.1 1511 0.30 5 15 250 0.02AAAA AAAA 1 1 .1 1 5 3 7 .5 3 2 .8 4 7 1 5 2 5 0 2 .9 4 2 1 7 2 .5 5X A A A L 01 2.847ax 12 172.55ax 拟合直线为 y=-2.847+172.55x 压力/MPa 输出值 /mV 第一循环 第二循环 第三循环 正行程 反行程 正行程 反行程 正行程 反行程 均值 理论值 误差 0.02 0.56 0.66 0.61 0.68 0.64
9、 0.69 0.64 0.604 0.036 0.04 3.96 4.06 3.99 4.09 4.03 4.11 4.04 4.055 0.015 0.06 7.40 7.49 7.43 7.53 7.45 7.52 7.47 7.506 0.106 0.08 10.88 10.95 10.89 10.93 10.94 10.99 10.93 10.957 0.027 0.10 14.42 14.42 14.47 14.47 14.46 14.46 14.45 14.408 0.042 答：非线性误差公式： m a x 0 . 1 0 61 0 0 % 1 0 0 % 0 . 6 4 %1
10、6 . 5 0L FSLY 迟滞误差公式： m ax 100%H FSHY ， 又最大行程最大偏差 maxH =0.1mV， m a x 0 . 11 0 0 % 1 0 0 % 0 . 6 %1 6 . 5 0H FSHY 重复性误差公式： m ax 100%L FSRY ， 又重复性最大偏差为 maxR =0.08， m a x 0 . 0 81 0 0 % 1 0 0 % 0 . 4 8 %1 6 . 5 0L FSRY 2.7 用一阶传感器测量 100Hz 的正弦信号，如果要求幅值误差限制在 5以内，时间常数应取多少？如果用该传感器测量 50Hz 的正弦信号，其幅值误差和相位误差各为多
11、少？ 解：一阶传感器频率响应特性： 1()( ) 1Hj j 幅频特性：21() 1 ( )A 由题意有 ( ) 1 5%A ，即21 1 5 %1 ( ) 又 2 2 2 0 0fT 所以： 0 0.523ms 取 =0.523ms， =2 f=2 50=100 幅值误差： 21 11 ( )( ) 1 0 0 % 1 . 3 2 %1A 所以有 -1.32% A( ) 0 相位误差： ( )=-arctan( )=-9.3 所以有 -9.3 ( ) 0 2.8 某温度传感器为时间常数 =3s 的一阶系统，当传感器受突变温度作用后，试求传感器指示出温差的三分之一和二分之一所需的时间。 解：一
12、阶传感器的单位阶跃响应函数为 ( ) 1 ty t e ln1 ( )t yt * ln1 ( )t y t 13 12* l n 1 * l n 3 * ( 0 . 4 0 5 4 6 5 ) 1 . 2 1 6 433ts ， 12 11* l n 1 * l n 3 * ( 0 . 6 9 3 ) 2 . 0 822 2.9 玻璃水银温度计通过玻璃温包将热量传给水银，可用一阶微分方程来表示。现已知某玻璃水银温度计特性的微分方程是 2dy yxdt y 代表水银柱高（ mm） , x 代表输入温度（）。求该温度计的时间常数及灵敏度。 解：一阶传感器的微分方程为 () ( ) ( )ndy
13、t y t S x tdt 式中 传感器的时间常数； nS 传感器的灵敏度。 对照玻璃水银温度计特性的微分方程和一阶传感器特性的通用微分方程，有该温度计的时间常数为 2s，灵敏度为 1。 2.10 某传感器为一阶系统，当受阶跃函数作用时，在 t=0 时，输出为 10mv；在 t=5s 时输出为 50mv；在 t时，输出为 100mv。试求该传感器的时间常数。 解： 00( ) ( ) ( ) ( ) (1 )ty t y t y t y t e ， 00( ) ( ) 5 0 1 0l n 1 l n 1 0 . 5 8 7 7 8 7( ) ( ) 1 0 0 1 0y t y tt y t
14、 y t ， =5/0.587787=8.5s 2.11 某一质量 -弹簧 -阻尼系统在受到阶跃输入激励下，出现的超调量大约是最终稳态值的40%。如果从阶跃输入开始至超调量出现所需的时间为 0.8s，试估算阻尼比和固有角频率的大小。 解：221 1 1 0 . 2 83 . 5 7 1 4 5 6 8( ) 1 ( ) 1l n l n 0 . 4 ， 22 3 .4 2 70 .8 2d T ， 223 . 4 2 7 4 . 2 6 /1 1 0 . 2 8dn r a d s 2.12 在某二阶传感器的频率特性测试中发现，谐振发生在频率 216Hz 处，并得到最大的幅值比 为 1.4，试
15、估算该传感器的阻尼比和固有角频率的大小。 解：当 n 时共振，则m a x 1 1 .4( ) , 0 .3 621A 所以： 2 2 2 1 6 1 3 5 7 /n f r a d s 2.13 设一力传感器可简化为典型的质量 -弹簧 -阻尼二阶系统，已知该传感器的固有频率0f =1000Hz，若其阻尼比为 0.7，试问用它测量频率为 600Hz、 400Hz 的正弦交变力时，其输出与输入幅值比 A( )和相位差 ( )各为多少？ 解：二阶传感器的频率响应特性：2 1() 1 ( / ) 2 ( / )nnHj 幅频特性： 12 2 2 2 2( ) 1 ( / ) 4 ( / ) nnA
16、j 相频特性：22 ( / )( ) a r c ta n 1 ( / )nn 当 f=600Hz 时， 12 2 2 2 2( ) 1 (6 0 0 / 1 0 0 0 ) 4 0 . 7 (6 0 0 / 1 0 0 0 ) 0 . 9 4 7Aj ， 22 0 . 7 (6 0 0 / 1 0 0 0 ) 0 . 8 4( ) a r c t a n a r c t a n 5 2 . 6 9 61 (6 0 0 / 1 0 0 0 ) 0 . 6 4 ； 当 f=400Hz 时， 12 2 2 2 2( ) 1 ( 4 0 0 / 1 0 0 0 ) 4 0 . 7 ( 4 0 0 /
17、 1 0 0 0 ) 0 . 9 9Aj 22 0 . 7 ( 4 0 0 / 1 0 0 0 ) 0 . 5 6( ) a r c t a n a r c t a n 3 3 . 6 91 ( 4 0 0 / 1 0 0 0 ) 0 . 8 4 。 第 3 章 电阻式传感器 3.2 电阻应变片的种类有哪些？各有什么特点？ 答：常用的电阻应变片有两种：金属电阻应变片和半导体电阻应变片。金属电阻应变片的工作原理是主要基于应变效应导致其材料几何尺寸的变化；半导体电阻应变片的工作原理是主要基于半导体材料的压阻效应。 3.4 试分析差动测量电路在应变电阻式传感器测量中的好处。 答： 单臂电桥测量电路存
18、在非线性误差，而半桥差动和全桥差动电路均无非线性误差。 半桥差动电路的电压输出灵敏度比单臂电桥提高了一倍。全桥差动电路的电压输出灵敏度是单臂电桥的 4 倍。 3.5 将 100电阻应变片贴在弹性试件上，如果试件截面积 420.5 10Sm ，弹性模量11 22 10 /E N m ，若由 45 10N 的拉力引起应变计电阻变化为 1，求电阻应变片的灵敏度系数。 解 ： /RRK 已知 11, 100RR R 3 2 9 245 0 1 0 / 1 1 0 /0 . 5 1 0F N m N mA 由 E 得 9 3111 1 0 5 1 02 1 0E 所以3/ 1 / 1 0 0 25 1
19、0RRK 3.6 一个量程为 10kN 的应变式测力传感器，其弹性元件为薄壁圆筒轴向受力，外径 20mm，内径 18mm,在其表面粘贴八各应变片，四个沿周向粘贴，应变片的电阻值均为 120,灵敏度为 2.0， 波松比为 0.3， 材料弹性模量 E=2.11011Pa。要求： (1) 绘出弹性元件贴片位置及全桥电路； (2) 计算传感器在满量程时，各应变片电阻变化； (3) 当桥路的供电电压为 10V 时，计算传 感器的输出电压。 解： (1) (2) 圆桶截面积 ： 2 2 2 2 6 6 2( ) ( 1 0 9 ) 1 0 5 9 . 6 9 1 0A R r m 应变片 1、 2、 3、
20、 4 感受纵向应变； 1 2 3 4 x 应变片 5、 6、 7、 8 感受 周 向应变； 5 6 7 8 y 满量程时： 由电阻应变片灵敏度公式 /RRK 得 R K R ， 由应力与应变的关系 E ，及 应力与受力面积的关系 FA ，得 FAE ， 31 2 3 4 6 1 11 0 1 02 . 0 1 2 0 0 . 1 9 1 4 35 9 . 7 1 0 2 . 1 1 0FR R R R K RAE 5 6 7 8 1 0 . 3 0 . 1 9 1 4 3 0 . 0 5 7 4 3R R R R R (3) 36 1 11 0 1 0 1 0( 1 ) 2 . 0 ( 1 0
21、 . 3 ) 0 . 0 1 0 3 72 2 5 9 . 7 1 0 2 . 1 1 0UFU K VAE 3.7 图 3-5 中，设负载电阻为无穷大（开路），图中 4EV ， 1 2 3 4 100R R R R ， 试求： (1) 1R 为金属电阻应变片，其余为外接电阻 ，当 1R 的增量为 1 1.0R 时，电桥的输出电压 ?oU (2) 1R , 2R 都是电阻应变片，且批号相同，感应应变的极性和大小都相同，其余为外接电阻，电桥的输出电压 ?oU (3) 1R , 2R 都是电阻应变片，且批号相同，感应应变的大小为 121.0RR ，但极性相反，其余为外接电阻，电桥的输出电压 ?oU
22、 解： (1) 单臂 3111 1 2 3 41 0 1 1 4 ( ) 0 . 0 0 9 9 5( ) 1 0 1 1 0 0 2o RRRU E VR R R R R (2) 极性相同 3111 1 2 2 3 41 0 1 1 4 ( ) 0( ) ( ) 1 0 1 1 0 1 2o RRRU E VR R R R R R (3)半 桥 3111 1 2 2 3 41 0 1 1 4 ( ) 0 . 0 2( ) ( ) 1 0 1 9 9 2o RRRU E VR R R R R R 3.8 在图 3-11 中，设电阻应变片 1R 的灵敏度系数 K=2.05，未受应变时， 1R =
23、120。当试件受力 F 时，电阻应变片承受平均应变值 800 /mm 。试求： (1) 电阻应变片的电阻变化量 1R 和电阻相对变化量 11/RR ； (2) 将电阻应变片 1R 置于单臂测量电桥，电桥电源电压为直流 3V，求电桥输出电压及其非线性误差； (3) 如果要减小非线性误差，应采取何种措施？分析其电桥输出电压及非线性误差的大小。 解：图 3-11 是一种 等强度梁式力传感器， (1) 由 K= ( R/R)/得 R/R=K， 6311/ 2 . 0 5 8 0 0 1 0 1 . 6 4 1 0R R K ， 31 1 1 1( / ) 1 2 0 1 . 6 4 1 0 0 . 1
24、 9 6 8R R R R (2) 3111 1 2 3 41 2 0 . 1 9 6 8 1 3 ( ) 0 . 0 0 1 2 3( ) 1 2 0 . 1 9 6 8 1 2 0 2o RRRU E VR R R R R 1111/ 0 . 0 0 1 6 41 0 0 % 1 0 0 % 0 . 0 8 2 %2 / 2 0 . 0 0 1 6 4L RRRR 3.9 电阻应变片阻值为 120，灵敏系数 K=2，沿纵向粘贴于直径为 0.05m 的圆形钢柱表面，钢材的弹性模量 11 22 10 /E N m ，泊松比 =0.3。求： (1) 钢柱受 49.8 10 N 拉力作用时应变片电
25、阻的变化量 R 和相对变化量 RR ； (2) 若应变片沿钢柱圆周方向粘贴，受同样拉 力作用时应变片电阻的相对变化量。 解： (1) 由应力与应变的关系 E ，及 应力与受力面积的关系 FA ，得 FAE ， 4 32 1 19 .8 1 0 0 .2 5 1 00 .0 5( ) 2 1 02FAE ， 332 0 . 2 5 1 0 0 . 5 1 0R KR ， 31 2 0 0 . 5 1 0 0 . 0 6RRR R ； (2) 由 yx ，得 330 . 3 0 . 5 1 0 0 . 1 5 1 0y xyxR RRR 。 第 4 章 电感式传感器 4.3 已知变气隙厚度电感式传
26、感器的铁芯截面积 21.5S cm ，磁路长度 L 20cm， 相对磁导率 5000r ，气隙初始厚度 0 0.5cm , 0.1mm，真空磁导率70 4 10 /Hm ，线圈匝数 N 3000，求单线圈式传 感器的灵敏度 /L 。若将其做成差动结构，灵敏度将如何变化？ 解：0 0LL, 00LLK 2 2 7 4 3000 20 3 0 0 0 4 1 0 1 .5 1 0 5 4 1 0 ,2 2 0 .5 1 0NAL H H 所以， 325 4 1 0 1 0 .8 3 40 .5 1 0K 。 做成差动结构形式，灵敏度将提高一倍。 4.5 有一只差动电感位移传感器，已知电源电压 4UV ， 400f Hz ，传感器线圈电阻与电感分别为 R=40 ,L=30mH，用两只匹配电阻设计成四臂等阻抗电桥，如图所示，试求： （ 1）匹配电阻 3R 和 4R 的值为多少时才能使电压灵敏度达到最大。 （ 2）当 Z=10时，分别接成单臂和差动电桥后的输出电压值。
