1、第 2章 极限与连续性知识点 函数极限 无穷大、无穷小 重要极限 连续 间断难点 重要极限 连续要求 熟练掌握极限定义极限的求法连续定义函数的连续性函数的间断点 了解无穷小量与无穷大量之间的关系极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，微积分的一些基本概念都要用极限概念来表达，并且它们的运算和性质也都要用极限的运算的性质来论证，因此必须掌握好极限的概念。2.1 数列的极限2.1.1 数列的概念定义 1 按正整数编号，依次列起来的一系数 叫做数列，记作 数列中的每一个数叫做数列的项，第 n项叫做数列的一般项或通项。例如： 2.1.2 数列的极限对于给定的数列 ，我们所要研的是，当 时， 数列的
2、变化趋势，即当 时， 是否无限趋近某一个确定的数值。 1.数列极限的定义定义 2 设 是一个数列， A是一个定数。果对于任意给定的正数 （不管它多么小），总存在正整数 N， 使得对于的一切 ，不等式 都成立，则称 数 A是数列 的极限。或称数列收敛 于A， 记作：若 数列没有极限 就称数列是发散的。2.数列极限定义应着重理解的几点1）定义中 是任意给定，只有 具有任意性，才能用不等式 表达出 与 A无极限接近的确切含义。2）定义中的正整数 N的选取与 有关 ,一般当给定的 越小，选取的 N就越大，但定义中的 N不是唯一的，因为极限定义并不要求找到最小的 N， 而只要存在一个 N就可以了。 3）
3、数列极限定义，并没有直接提供求数列极限的方法，只能根据极限定义，验证给定的数列 是否以 A为极限。3.数列以为极限的几何解释从几何上看，数列 是数轴上的一串点列， A是数轴上的一个确定的点。在数轴上作出A点的 邻域，即开区间 ，因绝对值不等式 与不等式 等价，所以当 时 ,所有的点都落在 A点的 邻域内，而只有有限的多个点（最多只有 N个）落在邻域的外面，这就是 的几何意义。 如图 2.2 所示。例 证明数列 的极限是 0。证明 对任意给定的 ，因为则 取 ，对任给的 存在 当 时，就有 成立。即 2.1.3 收敛数列的有界性1. 数列的有界性定义 3 对于数列 ，如果存在正数 M， 使得一切 都满足不等式 ，则称数列 是有界的，否则称 是无界的。2. 收敛数列的有界性定理 1 如果数列 收敛，则数列 一定有界。（证明从略）
