1、2010-2011(1)概率统计试题及参考答案一、填空题（每小题 3 分，共 30 分.）1. 随机事件是样本点的集合.口袋中有 5 只外形相同的球，分别编号 1,2,3,4,5，从中同时取 3 只球，则球的最小号码为 1 的事件为 . 2. 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，则 P1 1.三、 （12 分）已知随机变量(X , Y)的分布律为 ， （1）求 D(2X Y)；（2）判断 X , Y10.324.XY的独立性与相关性；（3）求 Z = max X,Y的分布律.四、 （共 22 分）1.（6 分）设随机变量 X 的密度函数为 求 Y=X2 的密度函数.2,0,() xef
2、2.（16 分）设随机变量(X , Y) 的密度函数为 （1）求 P X 0)未知，求 a 的矩估计和最大似然估计.七、 （6 分）规定企业污水中汞的最高允许排放浓度为 0.05mg/L.今从某企业排放的污水中抽取了 9 个水样，测得汞含量的样本均值为 0.051mg/L，样本均方差为 0.003mg/L.假设每升污水中汞的含量服从正态分布，那么在显著水平 0.10 下该企业排放的污水中汞含量超标吗？(假设 H0: 0.05, H1: 0.05. t0.10(9)=1.3830, t0.10(8)=1.3968, t0.05(9)=1.8331, t0.05(8)=1.8595.）八、 （6
3、分）下面是 A 班和 B 班各 10 位学生的某科考试成绩（10 分制）：A 班成绩：6 5 8 8 7 6 10 4 9 7B 班成绩：8 7 7 10 5 8 10 6 8 6平均成绩分别为 7, 7.5，成绩均方差分别为 1.83, 1.65.又定义极差= (其AxBAsB 11maxiniin中 为样本数据).（1）求每班成绩的众数、中位数和极差；（2）试根据平均成绩、成绩均方差12,nx与（1）中的结果，对两班的成绩作对比评点.答案一、1. (1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5); 2. 0.4772; 3. 不相关; 4. 2
4、, ; 5. 8/9; 31746. 8; 7. 一，小，二，大 ; 8. 4, 3; 9. 2(5), F(5,5); 10. (4.412, 5.588).二、1. 解 191919323837000444.CCp2. 解 (1) 由 ， 得 c=16/37 . 5726c(2) P X 1 = 3512480.7586916PX三、 解 (1) D(2X Y)=4 D(X)+D(Y) 4cov(X,Y)= 4D(X)+D(Y) 4(E(X,Y) E(X)E(Y) E(X)=0, E(X 2)=1,D(X)=1; E(Y)=0.2, E(Y 2)=0.4, D(Y)=0.36; E(X,Y
5、)=0.4 D(2X Y)=41 + 0.36 40.4 = 2.76 (2) cov(X ,Y)=0.4 X,Y 相关 P X=1,Y=1=0PX =1 P Y=1=0.50.3=0.15 X,Y 不独立 (3) Z -1 0 1p 0.3 0.2 0.5 五、 解 设 Xi 表示第 i 个零件的重量，则 E(Xi)=0.5, D(Xi)=0.12，i =1,2,.,2500. 根据中心极限定理可知，2500 只零件的总重量 X = X1+X2+ X2500 近似地服从 N(25000.5, 25000.01)= N(1250, 25)，于是所求事件的概率.1240540(2)097P四、1
6、. 解 方法一 2()0()yxx 1,0,()0, XYfyyf ,0, .ye方法二 2()YFyPy当 0,(),()0;YYf XXFyy1()2 0YXXyyfyffe因此 , () .yYf2. 解 (1) P X 0 时， ，这时有 ()xXfe1,(,)() YXXyfyf 其 他 .(4) ， dxzfzfZ),()(其中 2,0,.他xefx当 z0 时， ，此时 ；()fz0)(zfZ当 z 0 时， ，此时 ， ,xxe22zzxede所以 Z 的概率密度为 , 0,()0, .zZf六、 解 E(X)= ()0()()txax taxfdedted001ttedae令
7、 1+a = ，得 a 的矩估计 . X当 x1,x2, xna 时，似然函数为， x1,x2, xn0， 12()()()() nnxaxaLee取对数并求导数，有， 12(l() n故 L(a)是 a 的增函数，即 a 越大，L( a)的值就越大. 但由 x1,x2, xna 可知，aminx 1,x2, xn. 因此 a的最大似然估计量为 a=minX1,X2, Xn. 七、解 提出假设 H 0: 0.05, H1: 0.05， 检验统计量 ， 0.5(8)/9:XTtS拒绝域为 0.1().36t由于 ，故接受假设 H0，即认为在显著水平 0.10 下该企业排放.51.9./9./xs
8、的污水中汞含量不超标. 八、解 (1) A 班众数 6,7,8 B 班众数 8A 班中位数 7 B 班中位数 7.5A 班极差 6 B 班极差 5(2) B 班学生的成绩好于 A 班的 . 一、因为 B 班学生的平均成绩 7.5 高于 A 班的平均成绩 7，说明 B 班学生的成绩整体上好于 A 班BxAx学生的成绩；二、B 班的成绩均方差 1.65 小于 A 班的成绩均方差 1.83，以及 B 班的极差小于 A 班的极差，都ss说明 A 班学生的成绩分布相对比较分散；三、A 班的众数多小于 B 班的众数，又说明 A 班学生的成绩在低分段的相对比较多. 2011-2012(1)概率统计试题及参考
9、答案一、 选择题（每小题 3 分，共 15 分）1. 随机事件 发生，意味着 .AB(A) 都发生； (B) 至多有一个发生；, ,AB(C) 恰好有一个发生； (D) 至少有一个发生.2. 设随机变量 ，则 X 的分布函数为 . 230.46X:(A) (B),().,3.xF0.4,2,()631,.xFx(C) (D)02,().4,1.x,()0.4,23.xx3. 已知 ，且 ，正确的是 .22(,)(,)XNY:121PXY(A) ； (B) ； (C) ； (D) .121124. 设 是来自总体 的简单随机样本， 分别为样本均值和样本方差，不正确,n (,)N2,S的是 .(A
10、) ; (B) ; (C) ; (D) 与 相互独立.(0,1)X:2()(1)Sn:()XtnS:X2S5. 对原假设 H0 和备择假设 H1， 为犯第一类错误.(A) H1 真，拒绝 H1； (B) H1 不真，拒绝 H1； (C) H1 真，接受 H1； (D) H1 不真，接受 H1.二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）1. 设事件 A1, A2, A3 相互独立，且 P(Ai)=1/3( i=1,2,3)，则 A1, A2, A3 至少发生一个的概率为 .2. 设随机变量 X,Y,Z 相互独立，概率密度函数分别为，21 (1)23,0,()()(),0, y zYZxefxf
11、fzez 其 他则 E(3X YZ2)= .3. 二维正态变量 ，则 ，X 与 Y （独立，不独立，相关）.(,)(2,185,0)N:4. 设 , 是二项总体 B(10, 0.4)的简单随机样本的样本均值和样本方差，则 E( )= .2S X2S5. 设某次考试的成绩服从正态分布 ，其中 均未知. 随机调出其中 36 位考生的成绩，算得2(,)2,平均分是 66.5，标准差为 15. 为检验这次考试的平均成绩是否为 70 分，应提出原假设、备择假设以及检验用的检验统计量分别为 .三、 （12 分）设随机变量( X,Y)的分布律为 ， （1）求 Z = 2X Y 的分布律；（2）求 Cov(102.34.YX, Y)；（ 3）判断 X , Y 的独立性与相关性.四、 （共 11 分）1.（6 分）设随机变量 （1）求常数 a；（2 ）求分布函数 F(x).,02,()axXf:其 他 .2.（5 分）设随机变量 求 的概率密度函数.2,0,(1)0, xXfx:lnYX五、 （12 分）设二维随机变量(X,Y)在由直线 x =2, y = x/2 及 x 轴所围成的区域内服从均匀分布，求：（1）；（2）Z =X +Y 的概率分布.fxy
