1、第四章第四章根轨迹法根轨迹法作者： 浙江大学 邹伯敏 教授 自动控制理论自动控制理论普通高等教育普通高等教育 “ 十一五十一五 ” 国家级规划教材国家级规划教材* 1第四章 根轨迹法第一节 根轨迹法的基本概念自动控制理论自动控制理论什么是根轨迹法什么是根轨迹法闭环特性方程式当 K由 0 变化 ,特征根 s1和 s2相应的变化关系如表 4-1所示。表 4-1 根与 K的关系K 0 0.25 0.5 1 s1 0 -0.5 -0.5+j0.5 -0.5+j0.87 0.5+js2 -1 -0.5 -0.5-j0.5 -0.5-j0.87 -0.5-j图 4-1 二阶系统(4-1)方程式 (4-1)
2、的根为Date 2第四章 根轨迹法图 4-2 系统的根轨迹对于不同的 K值 ,系统有下列三种不同的工作状态 :1) 0K ， s1、 s1为两相异的实数根（过阻尼状态）2) K=， s1、 s1为两相等实根， s1 = s2 =-0.5，（临界阻尼）3) K ， s1 、 s2为一对共轭复根（欠阻尼）如要求系统在阶跃信号的作用下，超调量为 49%。自动控制理论自动控制理论由式（ 3-26）求得由于 ，在图 4-2上过坐标原点作与负实轴夹角为 45和射线，它与根轨迹的交点 S= -05j0.5，这就是所求的希望闭环极点。Date 3第四章 根轨迹法图 4-3 控制系统的框图根轨迹的幅值条件与相角
3、条件特征方程：于是得：假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：自动控制理论自动控制理论由上式可知，凡是满足方程的 s值，就是该方程的根，或是根轨迹上的一个点。由于 s 是复数，故有：Date 4第四章 根轨迹法则上式改写为：于是得：自动控制理论自动控制理论Date 5第四章 根轨迹法自动控制理论自动控制理论图 4-4 一阶系统设一控制系统的框图如图 4-4所示，由根轨迹的幅值条件得：即令（ 4-10）（ 4-11）式（ 4-11）表明，系统的等增益轨迹是一簇同心圆，如图 4-5所示。图图 4-5 图图 4-4系统的等增益轨迹和根轨迹系统的等增益轨迹和根轨
4、迹Date 6第四章 根轨迹法结论：自动控制理论自动控制理论根轨迹就是 s 平面上满足相角条件点的集合。由于相角条件是绘制根轨迹的基础，因而绘制根轨迹的一般步骤是：找出 s 平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的 K值例 4-1 求图 4-1所示系统的根轨迹解： 1）用相角条件绘制根轨迹2）用幅值条件确定增益 KDate 7第四章 根轨迹法图 4-6 用试探法确定根轨迹自动控制理论自动控制理论Date 8第四章 根轨迹法第二节 根轨迹的基本规则开环传递函数有如下两种表示：其中， K为系统的开环增益； K0为系统的根轨迹增益它们之间的关系为：自动控制理论自动控制理论Date 9第四章 根轨迹法绘制根轨迹的基本规则规则 1：根轨迹的对称性由于系统特征方程式的系数均为实数 ,因而特征根或为实数 ,或为共轭复数 .根轨迹必然对称于 S平面的实轴规则 2：根轨迹的分支数及其起点和终点闭环特征方程：当 k由 变化时，方程中任一根由始点连续地向终点变化的轨迹称为根轨迹的一条分支；自动控制理论自动控制理论Date 10第四章 根轨迹法
