1、1重要习题例题归纳第 2 章 静电场和恒定电场1、例题：1、例 2.2.4（ ）半径为 的无限长导体柱面，单位长度上均匀分布的电荷密度为 。试计算空间中各点的电场强度。38P0r l解：作一与导体柱面同轴、半径为 、长为 的闭合面 ，应用高斯定律计算电场强度的通量。lS当 时，由于导体内无电荷，因此有 ，故有 ，导体内无电场。0dE当 时，由于电场只在 方向有分量，电场在两个底面无通量，因此0rr则有：02ldSEaSdErrlr022、例 2.2.6（ ）圆柱坐标系中，在 与 之间的体积内均匀分布有电荷，其电荷密度为 。利用高39Pm4 3/mC斯定律求各区域的电场强度。解：由于电荷分布具有
2、轴对称性，因此电场分布也关于 轴对称，即电场强度在半径为 的同轴圆柱面上，其值相等，方向在z方向上。现作一半径为 ，长度为 的同轴圆柱面。rrL当 时，有 ，即 ；2002rSdrE当 时，有 ，因此， ；m4)4(12LE)4(20rEr当 时，有 ，即 。rrS0 r063、例 2.3.1（ ）真空中，电荷按体密度 分布在半径为 的球形区域内，其中 为常数。试计算球内、41P)(2a0外的电场强度和电位函数。解：（1）求场强：当 时，由高斯定律得ar022QErSd而 为球面 包围的总电荷，即球形区域内的总电荷。Q300240 158)(4)( adraa 因此 203215rE当 时ar
3、)53(4)(4202ardrSdr因此 3(201ar（2）球电位；当 时，取无穷远的电位为零，得球外的电位分布为arrdEr025)(当 时，即球面上的电位为 01S当 时ar)1032()( 240arrda4、例 2.4.1（ ）圆心在原点，半径为 的介质球，其极化强度 。试求此介质球束缚体电荷密度和球表48PR)0(mrP面束缚面电荷密度。解：在球坐标系中，由于极化强度中与有关，具有球对称性，故当 时，r12)(mprP2当 时， 。RrmrpSRaPn5、例 2.4.2（ ）有一介质同轴传输线，内导体半径为 ，外导体半径 。两导体间充满两层均匀介质，49Pc1cmr8.13它们分界
4、面的半径为 ，已知内、外两层介质的介电常数为 ；击穿电场强度分别为cm5.12 027,4问：（1）内、外导体间的电压 逐渐升高时，哪层介质被先击穿？（2）此传输线能./k0,/k1VEm U耐的最高电压是多少伏？解：当内、外导体上加上电压 ，则内外导体上将分布 和 的电荷密度。由于电场分布具有轴对称性，在与传输线同Ull轴的半径为 的柱面上，场的大小相等，方向在 方向。选同轴的柱面作为高斯面，根据高斯定律可得rra当 时， ；10rD当 时， 或 ；2l1rEllr0182当 时， 或 。3rlrll4可以看出，两层介质中电场都在内表面上最强，且在分界面上不连续，这是在分界面上存在束缚电荷的
5、缘故。在介质 1 中，处场强最大为1r，10182rEllrm在介质 2 中， 处场强最大为 2024llr由于 ，显然 ，在两种介质中最大场强的差值为：12r1 )147(82020rrElllrm代入 和 的值得12 rmrr E12165.)47(当介质 2 内表面上达到 的电场强度时，介质 1 内表面已达到 的电场强度，因此，介质 1 在介质 2 被cV/kcmV/k5.62击穿前早已被击穿。而当介质 1 内表面上达到击穿电场强度时 crEllrm/k081即 024l因此，介质 1 和介质 2 内的电场分布为 cmVrrllr /k8101Ell 742故，传输线上的最大电压不能超过
6、 Vrr drrdUrrrmk16.ln780l1748022312 132326、例 2.7.1（ ）半径为 的导体球上带电量为 ，试计算空间中的电场分布、电位分布和静电能量。59PRQ解：当 时，对于导体球，球内无电场，球面为等位面。r当 时，利用高斯定律，电场强度为204rQE电位分布为 1球面上的电位为 R043此导电球储存的静电能为 RQWe2081而空间任一点的能量密度为 JrEwe4023静电场储存的静电能为RdRee082、习题2.20 （本题与例 2.3.1 同类型）半径为 的带点球，其体电荷密度为 ， 为常数，求球内外各处的电位和a)0(nr电场强度。解：（1）求场强，利用
7、高斯定律当 时，ar01214QErSd而 为球面 包围的总电荷，即球形区域内的总电荷。Q03)(n因此， 11ra当 时，r 0320022 )(4sin4 adrdESd na所以， 03)(rnr（2）求电位，取无穷远处的电位为零，则当 时ar )2()320211 nnarr ardrEd当 时nr032)(2.23 如图所示，内导体球半径为 ，外导体球壳内半径为 ，外半径为 ，如果内导体球带电量为 ，外导体球壳不带电。bcQ求：（1）两导体上的电荷分布；（2）导体内外各处的电场强度；（3）导体内外各处的电位分布。解：（1）内导体球带电量为 ，由于静电感应，所以外导体球壳内表面带电量为
8、 ，Q外表面带电量为 。内导体球的电荷体密度为 ；外导体球壳的内表面电荷面密度314a为： ；外导体球壳外表面电荷面密度为： 。24b2cQ（2）求场强，利用高斯定律，当 时，球内无电场，即 ；ar01E当 时， 20224rarSd当 时，无电场，即 ；crb3当 时，204024 rQErES（3）求电位，取无穷远处得电位为零，当 时，ar )1(40321 cbaddccbar 题 2.23 图acb4当 时，bra )1(4032 cbrQdErdcbr 当 时，ccr043当 时， r42.30 一圆心在原点，半径为 的介质球，其极化强度 。试求a)0(narP（1）此介质球束缚体电
9、荷密度和球表面束缚面电荷密度。（2）求球内外各点的电位。解：（1）介质球内束缚电荷体密度为： 12)(1mnp rr束缚电荷面密度为： 1rSaPn（2）先求介质球内自由电荷的体密度： 100)2(nDPDE然后求球内外各点的场强：当 时，由于 且 ，所以，arPE10101nra当 时，由高斯定律有：0224QrSd而 ，所以：030104sin)( na dQ 2032)(raEnr再求球内外各点的电位：当 时，r )()(00121nnar arEd当 时，ar032.31（略）第 4 章 恒定磁场1、例题1、例 4.2.1（ ）计算真空中半径为 的长直圆柱形载流铜导线的磁场。105PR
10、解：由真空中安培环路定律，在 处，有Rr2020IrBIrldBC在 处，有2、例 4.2.2（ ）在无限长柱形区域 中，沿纵向流动的电流，其电流密度为 ，其他地方电流106Pmr31rzeaJ25密度 。求各区域中的磁感应强度。J解：利用安培环路定律，有：（其中 为回路 围成的面积上穿过的电流强度）IrBldC02C当 时， ，则mrI当 时，31， AeSJrr 220115)(TerrIB2020415)(5当 时，5，AeSdJI2620315 TerIrB206041533、例 4.5.1（P 117）同轴线的内导体半径为 ，外导体的半径为 ，外导体的厚度忽略不计。并设导体的磁导率是
11、 ，内、ab0外导体间充满磁导率为 的均匀介质，内、外导体分别通以大小都等于 但方向相反的电流，求各处的 和 。 HB解：由安培环路定律： 可知SlH当 时，ar052，即 和 。raI2IB20当 时，b，即 和ldr当 时，r由对称性可知，,02rHl.0H4、例 4.5.2（P 117）无限长铁质圆管中通过电流 ，管的内、外半径分别为 和 。已知铁的磁导率为 ，求管壁中和管内、Iab外中的 ，并计算铁中的磁化强度 和磁化电流分布。BM解：（1）求 ：当 时，bra)(22arbIrld则有：和aHrIB2当 时，rbIrl则有：和20当 时， 由对称性可知，ar0,rld.HB（2）求铁
12、中的磁化强度：在 的管壁空间内有磁化强度为brIaHBMr2)1(0故管壁内的磁化体电流为 )(20bJzm在分界面 时 处的磁化面电流为b在 处：rrsM在 处：Iaz)1(05、例 4.6.1（P 120）如图 4.6.3 所示，铁芯环的内半径为 ，轴半径 ，环的横截面半径为矩形，且尺寸为 。已知0rhd和铁心的磁导率 ，磁环上绕有 匝线圈，通以电流为 。试计算环中的 、 和 。ha0NIBH解：在忽略环外漏磁的条件下，环内 的环积分为H（a） （b）图 4.6.30r 0rabdINhtNI6000 2,2rNIHBrINIrHld铁心环内的磁通为 ShI0当磁环上开一很小切口，即在磁路
13、上有一个小空气隙时，根据磁通连续性方程，我们近似地认为磁感应线穿过空气隙时仍均匀分布在截面上。由磁场边界条件可知：铁心内的磁感应强度与空气中的磁感应强度相等，即 ,当两个区域中的磁场强0B度不同，于是 NItHrld0)2(这里 为空气隙的宽度，且 ，在磁环内， ，在空气隙中， ，代入上式得t0tB0HItrB)(将上式中左边分子分母同乘以面积 ，则上式又可改写为S10022StrN铁心和空气隙中的磁感应强度为 10trISB而磁路中 和 分别为H0100)(2trNI02、习题4.10 一根通有电流 的长直导线埋在不导电的均匀磁性介质中，求出 、 、 及磁化电流分布。I HBM解：利用安培环
14、路定律： rIaHIldC2所以： BrIM000)(所以磁化电流密度： 1zraJmInz02)(4.11（略）4.17 本题与例 4.6.1 解法完全相同，故省略。第 5 章 时变电磁场1、例题1、例题 5.4.1（P 140） 已知自由空间中 ，求时变电磁场的磁场分量 ，并说明场 和 构成了一)sin(0ztEayHE个沿 方向传播的行波。z解：由麦克斯韦方程 可得tBEzyx07即 tBztEax)cos(0对时间积分可得 )in(0x这里积分常数忽略不计，于是 s0ztaH由此可见，场 和 相互垂直，它们随时间和空间是按正弦波的方式传播的，它是一个行波。E2、例 5.5.1（P 14
15、4）在两导体平板（ ）限定的空气中传播的电磁波，已知波的电场分量为d,式中， 为常数。)cos()0xktxx（1）试求波的磁场分量；（2）验证波的各场分量满足边界条件；（3）求两导体表面上的面电荷和面电流密度。解：（1）由麦克斯韦第二方程 可得t)sin()co100 xktdzEkaxyatHxyzzx 于是 )cos(in0ktdzEkxxy（2）由导体与空气的边界条件可知，在 和 的导体表面上应该有电场强度的切向分量 和磁感应强度的法向分tE量 。而当 和 时， 和 ，可见电磁波的场分量自然满足边界条件。0nBztyx0nzB（3）由导体与空气的边界条件可知，在导体的表面上有和nS0H
16、JS在 的表面上， 。于是za)cos(0xktE)cos(00 xktEatxyzzS 在 的表面上， 。于是dzn)s(00xdz )s(co)( 00tktaHaJ xxxyzS2、习题5.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 ，滑片的位置由co5mTaBz确定，轨道终端接有电阻 ，试求 。)cos1(35.0tx2.Ri解：磁通量为： SB)7.0(2xtcos135stco.所以，感应电动势为： dtu故： )cos(75.12ttRi)s2n.mAt5.2（略） 。5.15（略） 。5.16 本题与例 5.5.1 解答过程完全相同，故略。5.17（略）
17、。5.22 在 和 的均匀区域中，有1r50r8TeHaBmVeaEztjmyztjz )(0)(,/20如果波长为 ，求 和 。78.1解：由由麦克斯韦方程 可得tEzyxa0即 （自己求哈）?mzyzxHtB（自己求哈）278.12k第六章 平面电磁波例题 6.2.1 频率为 100MHz 的正弦均匀平面电磁波在各向同性的均匀理想介质中沿 方向传播，介质的特性参数为)(z， 。设电场只有 方向的分量，即 ；当 时，电场等于其振幅 ，试求：4r1rxxEamzt81,0mV/104（1）该正弦电磁波的 和 ；),(tzE,H（2）该正弦电磁波的传播速度；（3）该正弦电磁波的平均坡印廷矢量。解
18、：各向同性的均匀理想介质中沿 方向传播的正弦均匀平面电磁波可由标准的余弦函数来表示，即)cos(),(zttzm而波的电场分量是沿 方向的，因此，波的电场分量可写成x式中 。xEamVE/104而 radfk3420再由 时， 得zt81,0Vmx/1)0,(zt故 684x则（1） )/(3102cos(),( VztatzE)/(634102cos84mAztHyxy （2）波的传播速度为 m/5.480（3）波的电场和磁场分量的复矢量可写成，)63(1zjxeaE)634(1zjyea故波的平均坡印廷矢量为 28)634()(4* /10R2mWaHS zjyzjx 习题部分；由于本章习
19、题与上题解法基本相似，故不再赘述。1. 真空中，有一导线上电荷均匀分布且电荷密度为 l，形状为半圆、半径为 a，求在圆心处电场的大小和方向。建立坐标系统，半圆轴线为 x，半圆中间为 y9则 =E02)(14adelery=- lay )cos(in0=- =- yael00)(4al022.在自由空间中，沿+y 方向传播的平面波，它的磁场强度为= 410-6cos(107t-ky+ )(A/m)Hye4求：(1)波数 k (2) 的大小和方向。E(1)k=/c= =/30 (rad/m)87103(2) = 4xe)4y30t1cos(76=- 58.31. 半径为 R 的无限长直圆柱体内均匀带电、电荷的体密度 ，求场强分布，并画出 Er 曲线。(示意图) 2.在自由空间中，已知电场 (z,t)= (9108tkz) (V/m) 求：(1)波数 (2) 磁场强度。2
