,二 次 函 数,一、二次函数概念,形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数,其中二次项为ax2，一次项为bx，常数项c,二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项c,,,,(1)下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (2)y=3x2
(3)y=2x2-2x+1 (4)y=x2-x(1+x),二.二次函数图象,y=ax2,y=a(x+m)2,y=a(x+m)2+k,y=ax2+bx+c,y=ax2+k,,,,,,顶点式,,一般式,,配方,平移,直线x=0,直线x=-m,直线x=-m,(0,0),(-m,0),(-m,k),a>0当x=0,y最小=0,a>0当x=-m,y最小=0,a>0当x=-m,y最小=k,a>0，x≤-m,y随x增大而减小 x≥-m,y随x增大而增大,a>0，x≤-b/2a,y随x增大而减小 x≥-b/2a,y随x增大而增大,,,2.二次函数图象的画法,,,顶点坐标,与X轴的交点坐标,与Y轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点,（ ， ）,(x1,0) (x2,0),(0, c),( , c),,（ ， ）,x1,x2,,O,x,y,c,,( , c),对称轴直线x=,（1）画出y=x2-2x-3的图像,（2）画出y=2x2-2x-4的图像 （0≤x≤3）,做一做,(3)、将函数y=x2-4x+5转化成y=a(x+m)2+k的形式,(4)、将函数y=-2x2-4x+5转化成y=a(x+m)2+k的形式,(5) y=2(x+2)2是由 向 平移 个单位得到,(6) y=-2x2-2是由 向 平移 个单位得到,(7) y=-2(x-2)2+3是由 向 平移 个单位
，再向 平移 个单位得到,(8) y=2x2+4x-5是由 向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到,(9) y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到
函数解析式是 。,y=2(x+2)2-3,y=2x2,左,2,y=-2x2,下,2,y=-2x2,右,2,上,3,y=2x2,左,1,下,7,（10）由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位,再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式为_________________,y= - 3(x-1-4)2+2+3,（11）抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为______________;,y=2(x+1)2-8,（12）将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.,逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3个单位,再向上平移5个单位.,（13）已知二次函数y=x2-4x-5 ，求下列问题,y=-2(x+1)2-8,①开口方向,②对称轴,③顶点坐标,③最值,④怎样平移,⑤x在什么范围，y随x增大而增大,⑥与坐标轴的交点坐标,⑧与x轴的交点坐标为A,B,与y轴的交点为C,则S∆ABC= .,⑨在抛物线上是否存在点P,使得S∆ABP是∆ABC面积的2倍,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由,⑦当x为何值时，y>0,（14）已知二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标（1，-2），求b，c的值,（15）已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在x轴上，求c的值,（16）已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在直线y=2x+1上，求c的值,（17）已知二次函数y=x2+4x+c有最小值为2，求c的值,（18）已知二次函数y=-2x2+bx+c，当x=-2时函数有最大值为2，求b、c的值,2、已知抛物线顶点坐标（m, k），通常设抛物线解析式为_______________,3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________,1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________,y=ax2+bx+c(a≠0),y=a(x+m)2+k(a≠0),y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0),如何求抛物线解析式常用的三种方法,一般式,顶点式,交点式或两根式,4.公式法,1.已知一个二次函数的图象经过点
（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。,如何求下列条件下的二次函数的解析式:,3.已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3,
并且经过点(6,0),和(2,12),2.已知二次函数的图象的顶点坐标为
（－2，－3），且图象过点（－3，－2）。,4.矩形的周长为60，长为x，面积为y，则y关于x的函数关系式 。,如何判别a、b、c、b2-4ac，2a+b，a+b+c的符号,（1）a的符号：,由抛物线的开口方向确定,开口向上,a>0,开口向下,a<0,,,（2）C的符号：,由抛物线与y轴的交点位置确定.,交点在x轴上方,c>0,交点在x轴下方,c<0,经过坐标原点,c=0,,,,（3）b的符号：,由对称轴的位置确定,对称轴在y轴左侧,a、b同号,对称轴在y轴右侧,a、b异号,对称轴是y轴,b=0,（4）b2-4ac的符号：,由抛物线与x轴的交点个数确定,与x轴有两个交点,b2-4ac>0,与x轴有一个交点,b2-4ac=0,与x轴无交点,b2-4ac<0,,,,,,,（1）已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
a___0, b____0, c_____0, abc____0
b2-4ac_____0
a+b+c_____0, a-b+c____0
4a-2b+c_____0,,,,,0,,,-1,1,-2,＜,＜,＜,＞,＞,＞,＞,＞,,x,（2）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）,,B,,,,x,y,O,,,-1,1,（3）已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是（ ）,A abc>0
B a>0,b2-4ac<0
C 当x=1时，函数有最大值为-1
D 当x=1时，函数有最小值为-1,利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解,1、根据下列表格的对应值：
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a、b、c为常数）一个解的范围是 （ ）
Ａ、3＜x＜3.23 Ｂ、3.23＜x＜3.24
Ｃ、3.24＜x＜3.25 Ｄ、3.25＜x＜3.26,1、函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值和交点坐标分别为 。,9或1,2、写出一个开口向下，对称轴是直线x=3，且与y轴交于（0，-2）的抛物线解析式。,练一练,3、把抛物线y=-3x2绕着它的顶点旋转1800后所得的图象解析式是 。,y=3x2,4、已知二次函数y=a（x-h）2+k的图象过原点，最小值是-8，且形状与抛物线y=0.5x2-3x-5的形状相同，其解析式为 。,y=0.5（x-4）2-8或y=0.5（x-4）2-8,5、若x为任意实数，则二次函数y=x2+2x+3的函数值y的取值范围是 。,y≥2,,6、抛物线y=2x2-4x-1是由抛物线y=2x2-bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b= ，c= 。,7、已知抛物线y=2x2+bx+8的顶点在x轴上，则b= 。,8,3,±8,8、已知y=x2-（12-k）x+12，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，则k的值为 。,10,问题2这位同学身高1.7 m,若在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？,,1. 如图，有一次,我班某同学在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.,,,,,3.05 m,2.5m,,3.5m,,,,,问题1 建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；,,,4 m,,综合应用,2.你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，请你算一算学生丁的身高。,,,,,,,,,,1m,2.5m,4m,1m,甲,乙,丙,丁,,(0,1),(4,1),(1,1.5),3. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。,解：,(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米,(3) ∵墙的可用长度为8米,(2)当x＝ 时，S最大值＝ ＝36（平方米）,∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0
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