1、正切、余切函数图象和性质 反三角函数 知识要点 1正切函数、余切函数的图象与性质 2反三角函数的图象与性质 3已知三角函数值求角 目的要求 1类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4能用反三角函数值表示不同范围内的角. 重点难点 1正切函数图象与性质 2已知三角函数值求角 内容回顾 一、正切函数与余切函数图象 由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的
2、一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期 内的图象上三点 及两条重要的辅导线渐近线 ，来作正切函数在区间 上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数 y=cotx 的图象，如何选择“三点”及“ 两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质 由图象可得: y=tanx y=cotx 定义域 值域 R R 单调性 在 上单增(kZ) 在 上单减(kZ) 周期性 T= T= 对称性 10 对称中心 ，奇函数(kZ) 20 对称轴；无 10 对称中心 ，奇函数(kZ) 20 对称轴；无 注: 1
3、、由定义域知，y=tanx 与 y=cotx 图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的. 3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由 x 到 y 的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量 x 的范围，使之成为由 x 到 y 的对应.从方便的角度而言，这个 x 的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1y=sinx, x 的反函数记作 y=arcsinx, x-1,1，称为反正弦函数. y=cosx
4、, x0, 的反函数记作 y=arccosx, x-1,1 ，称为反余弦函数. y=tanx ，x 的反函数记作 y=arctanx, xR，称为反正切函数. y=cotx ，x(0, )的反函数记作 y=arccotx, xR，称为反余切函数. 2反三角函数的图象 由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象. 注:（1）y=arcsinx, x-1,1图象的两个端点是 （2）y=arccosx, x-1,1图象的两个端点是（1，0）和（-1 ， ）. （3）y=arctanx, xR 图象的两条渐近线是 和 . （4）y=arccotx, xR 图象的两条渐近线是 y=0 和 y=.
5、四、反三角函数的性质由图象，有 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域 -1,1 -1,1 R R 值域 0, (0, ) 单调性 在-1，1 上单增 在-1，1 上单减 在 R 上单增 在 R 上单减 对称性 10 对称中心（0，0）奇函数 20 对称轴；无 10 对称中心非奇非偶 20 对称轴；无 10 对称中心（0，0）奇函数 20 对称轴；无 10 对称中心非奇非偶 20 对称轴；无 周期性 无 无 无 无 另外: 1三角的反三角运算 arcsin(sinx)=x(x ) arccos(cosx)=x (x0, ) arctan(tanx
6、)=x(x ) arccot(cotx)=x(x (0, ) 2反三角的三角运算 sin(arcsinx)=x (x-1,1) cos(arccosx)=x (x-1,1) tan(arctanx)=x (x R) cot(arccotx)=x (xR) 3x 与-x 的反三角函数值关系 arcsin(-x)=-arcsinx(x-1,1) arccos(-x)=-arccosx (x-1,1) arctan(-x)=-arctanx (xR) arccot(-x)=-arccotx(xR) 4 五、已知三角函数值求角 1. 若 sinx=a (|a|1)，则 x=k+(-1)karcsina
7、(kZ) 2. 若 cosx=a (|a|1)，则 x=2karccosa(kZ) 3. 若 tanx=a (aR), 则 x=k+arctana (kZ) 4. 若 cotx=a (aR), 则 x=k+arccota(kZ) 具体计算和表示时，应根据 x 的范围来确定 x 的个数. 典型例题分析 例 1比较大小: (1) (2) 分析: 不在余切函数的同一单调区间内，应利用诱导公式设法将其化到同一单调区间内，再利用单调性来比较大小. 解:（1） , 而 ，由余切函数在（0，）上的单减性，有 ， （2） . 例 2写出下列函数的单调区间 (1) (2) (3)y=|tanx| 分析:(1)若
8、设 ，则原函数可看作是由 y=tanu, 复合而成的复合函数，由于 在 R 上单增，由复合函数的单调性确定法则，可解决之 .类似地，可解决(2). 解:(1) 上单增，(kZ) 此时， (kZ) 解之得 (kZ) 在区间 上单增(kZ) (2) 原函数由 y=cotu, 复合而成，而 在 R 上单减， 又 y=cotu 在 (kZ) 上单减， 此时， (kZ) 解之得 (kZ) 即 (kZ) 在区间 (k Z) 上单增. (3)分析:由 y=tanx 图象作翻折可得 y=|tanx|的图象，由图象即可得其单调区间. y=|tanx|的单增区间是 (kZ)，单减区间是 (kZ). 例 3求函数
9、的值域. 分析:考虑到最简原则，将 sec2x 化为 tan2x+1，这样去分母，作变形，就可以得到关于 tanx的二次型方程，而 tanxR，可考虑用判别式法求值域.有 法一: ， (y-1)tan 2x+(1+y)tanx+(y-1)=0 当 y1 时， ， ， 当 y=1 时，tanx=0R 综上，所求值域为 . 法二:另分析，先对解析式变形“切割化弦” 有 .(1) , , . 法三:也可由(1)式 得 ， 解不等式 ， 亦可得 . 例 4设 ，它们有相同最小正周期 T，且a,b(0,1),若 f(1)=g(1)，求 f(x),g(x)和 T. 分析:先从 f(x)与 g(x)有共同最
10、小正周期入手，找参数 a,b 关系. 解: ， a=2b, f(1)=g(1), 即 , 或 ， 或 又 b(0,1), . ,T=12. 例 5若 , cosx+tsinx=t, 求 t 取值范围. 分析:先将 t 表示出来， ，观察到此式右端与半角正切的有理公式很相像，能否转化？ 又 ， ， ，即. 例 6求值: (1) (2) (3) (4)arctan2+arctan3 解:(1)设 ，则 ， 原式 . (2)设 ， ， ， 原式(3)设 ， ， ， ， 原式值不存在. (4)设 arctan2=a, arctan3=b，则 ， .又 ， 0a+b, , 原式= . 例 7求适合下列条件的 x 集合: . 分析:先对原式变形，讨论. 解: . 当 ，即 时，角 x 不存在； 当 ，即 时，原式为 sin2x=1，所求集合为 ； 当 ，即 时，所求集合为反思:对于含字母的三角函数值，必须就字母的不同取值分类讨论
